文档介绍：固体电子理论
§ 晶体的布里渊区
可以证明,描述三维晶体中电子状态的布洛赫波也是调幅的平面波,调幅函数具有与晶体相同的周期性,即
为晶体的格矢量
代表晶体的三个原基矢
n1、n2、n3是整数
如果晶体有个原胞,即沿a1方向有NI个周期,沿a2方向有N2个周期,沿a3方向有N3个周期。原胞体积,晶体体积为NΩ, 波函数为
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由归一化条件
得布洛赫波的周期因子的模的平均值为。
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1. 倒格子
——晶格具有周期性,一些物理量具有周期性
势能函数
势能函数是以
为周期的三维周期函数
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根据原胞基矢定义三个新的矢量——倒格子基矢量
以为基矢构成一个倒格子
倒格子每个格点的位置
倒格子矢量
倒格子基矢的性质
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利用周期性边界条件
得
在倒易空间波矢k可写为
即
其中为任意整数。当换成整数时,相当于波矢k换成
, 是倒格矢。波矢为k´的波函数为
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由倒格子基矢
得到
代入
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对应波矢k的范围是
方括号中的函数仍是晶格的周期性函数,记为uk(r)。因此, 和k是两个等价的状态,代表相同的电荷分布。所以常把限制在的范围内。若是奇数, 取上述范围的正、负整数及零;若是偶数,该区间的两端点取其一。综合这两种情形,可确定如下范围:
(j=1,2,3)
此范围在倒格子空间是倒格基矢的垂直平分面围成的多面体,称为简约布里渊区,其体积
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等于倒格子原胞的体积,其中k的代表点是均匀分布的。每个代表点占体积
在简约布里渊区内含有的波矢数目为
此数目正好等于晶体中的原胞数目。在考虑实际晶体中电子占有能带时
这个关系很重要。下面举例说明二维和三维晶格的布里渊区。
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2. 布里渊区和能带
——在k空间把原点和所有倒格矢中点的垂直平分面画出,k空间分割为许多区域
简单立方晶格k空间的二维示意图
——每个区域内E~k是连续变化的,而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变,这些区域称为布里渊区
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——属于同一个布里渊区的能级构成一个能带
——不同的布里渊区对应不同的能带
——每一个布里渊区的体积相同,为倒格子原胞的体积
——每个能带的量子态数目:2N(计入自旋)
——三维晶格中,不同方向上能量断开的取值不同,使得不同的能带发生重叠