文档介绍：学案7 双曲线
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平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零),两焦点的距离叫做双曲线的.
两个定点
焦距
考点分析
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标准方程
图形
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性质
范围
x≥a或x≤-a
y≥a或y≤-a
对称性
对称轴:
对称中心:
对称轴:
对称中心:
顶点
顶点坐标A1 ,
A2
顶点坐标A1 ,
A2
渐近线
y=±
y=±
离心率
e= e∈,其中c= .
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|= ;a叫做双曲线的长,b叫做双曲线的虚半轴长.
a,b,c的关系
c= (c>a>0,c>b>0 )
x轴,y轴
x轴,y轴
原点
原点
(-a,0)
(a,0)
(0,-a)
(0,a )
(1,+∞)
2a
2b
实半轴
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已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:
(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的
几何条件,结合双曲线定义求解.
考点一双曲线的定义
题型分析
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【解析】如图,设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+ ,|MC2|=r- ,
∴|MC1|-|MC2|=2 .
又C1(-4,0),C2(4,0),
∴|C1C2|=8,
∴2 <|C1C2|.
根据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.
∵a= ,c=4,∴b2=c2-a2=14.
∴点M的轨迹方程是(x≥).
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【评析】求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性.
*对应演练*
在△ABC中,A为动点,B,C为定点,B(- ,0),
C( ,0)且满足条件sinC-sinB= sinA,则动点A的轨迹方程是( )
A. (y≠0)
B. (x≠0)
C. (y≠0)的左支
D. (y≠0)的右支
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D(sinC-sinB= sinA,由正弦定理得
|AB|-|AC|= |BC|= a(定值).
∴A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线右支,其中实半轴长为,焦距为|BC|=a.
∴虚半轴长为,由双曲线标准方程得(y≠0)的右支.
故应选D.)
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已知双曲线的渐近线方程为y=± x,并且焦点都在圆x2+y2=100上,求双曲线方程.
【分析】从圆的对称性及双曲线的焦点都在圆上知焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,故应分两种情况讨论求解.
考点二求双曲线方程