文档介绍：学案9 直线与圆锥曲线
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,解决的方法是转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,进而转化为一元(一次或二次)方程解的情况去研究.
设直线l的方程为:Ax+By+C=0,圆锥曲线方程为f(x,y)=0.
Ax+By+C=0
f(x,y)=0
由
消元(x或y)
相交、相切、相离
解的个数
考点分析
若消去y后得ax2+bx+c=0:
(1)若a=0,,,直线l与抛物线的对称轴.
(2)若a≠0,设Δ=b2-4ac.
①Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于;
②Δ=0时,直线与圆锥曲线;
③Δ<0时,直线与圆锥曲线.
另外,还能利用数形结合的方法,迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系.
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椭圆
平行或重合
平行或重合
两个点
相切
相离
(1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用求弦长.
(2)解由直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,设直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线斜率为k,则弦长公式为
|AB|= 或
|AB|= .
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两点间的距离公式
已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
【分析】联立直线方程和双曲线方程,化为关于x(或y)的一元二次方程,借助于Δ>0得关于k的不等式; (2)求出面积S的表达式,再解方程.
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考点一直线与圆锥曲线的关系
题型分析
【解析】(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,
x2-y2=1
y=kx-1
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∴ 1-k2≠0,
Δ=4k2+8(1-k2)>0,
解得- <k< 且k≠±1.
故当- <k< 且k≠±1时,双曲线C与直线l有两个不同的交点.
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有两个不同的解,
则方程组
(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0,-1).
x1+x2=
x1x2= .
当A,B分别在双曲线的一支上且|x1|>|x2|时,
S△OAB =S △OAD –S △OBD = (|x1|-|x2|)
= |x1-x2|;
当A,B在双曲线的两支上且x1>x2时,
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由(1)得
S△OAB =S△OAD +S△OBD = (|x1|+|x2|)
= |x1-x2|.
∴S△OAB = |x1-x2|= ,∴(x1-x2)2=(2 )2.
即=8,解得k=0或k=± .
又∵- <k< ,且k≠±1,
∴当k=0或k=± 时,△AOB的面积为.
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【评析】(1)①在利用判别式时,易忽略1-k2
≠0这一约束条件,1-k2=0时直线与双曲线只有一个交点.
②在求△AOB面积的表达式时,不能按A,B两点在双曲线的同支上或异支上分类讨论.
(2)方法总结:与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题,常采用解方程组的思想方法,转化为判别式进行;与弦长有关的问题,常常利用韦达定理,以整体代入的方法求解,这样可以避免求交点,使运算过程得到简化.
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=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[- , ] B.[-2,2]
C.[-1,1] D.[-4, 4]
(a,0),和B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是.
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*对应演练*