文档介绍：学案4 平面向量应用举例
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(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的充要条件 a∥b .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件
a⊥b.
考点分析
(3)求夹角问题.
(4)求线段的长度,可以用向量的线性运算,向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .
(5)直线的倾斜角、斜率与平行于该直线的向量之间的关系
①设直线l的倾斜角为α,斜率为k,向量a=(a1,a2)平行于l,则k= ;如果已知直线的斜率k= ,则向量(a1,a2)与向量(1,k)一定都与l .
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利用夹角公式
平行
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②与a=(a1,a2)平行且过P(x0,y0)的直线方程为;过点P(x0,y0)且与向量a=(a1,a2)垂直的直线方程为.
(6)两条直线的夹角
已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0, l2: A2x+B2y+C2=0, 则n1=(A1,B1)与l1垂直,n2=(A2,B2)与l2垂直,则l1和l2的夹角便是n1与n2的夹角(或其补角).
设l1与l2的夹角是θ,则有cosθ=
= .
a2x-a1y+a1y0-a2x0=0
a1x+a2y-a2y0-a1x0=0
|cos<n1,n2>|
(1)向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用.
(2)向量在速度的分解与合成中的应用.
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已知向量m=(2sinx,cosx),n=( cosx,2cosx),定义函数f(x)=loga(m·n-1)(a>0,且a≠1).
(1) 求函数f(x)的最小正周期;
(2)确定函数f(x)的单调递增区间.
考点一向量在三角函数中的应用
题型分析
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【分析】通过向量的数量积运算得到一个复合函数f(x)=loga〔 2sin(2x+ ) 〕,根据复合函数的单调性进行解决.
【解析】(1)因为m·n=2 sinxcosx+2cos2x
= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1,
所以f(x)=loga 〔 2sin(2x+ ) 〕,故T= =π.
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(2)令g(x)=2sin(2x+ ),
则g(x)单调递增的正值区间是( kπ- ,kπ+ 〕,k∈Z,
g(x)单调递减的正值区间是〔kπ+ ,kπ+ ),k∈Z.
∴当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为
〔kπ+ ,kπ+ ),k∈Z;
当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为
( kπ- ,kπ+ 〕,k∈Z.
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【评析】: 通过向量的运算把问题转化为三角问题,再利用三角函数的知识解决.
*对应演练*
已知向量a=(sinθ,1),b=(1,cosθ),- <θ< .
(1)若a⊥b,求θ;
(2)求|a+b|的最大值.
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