文档介绍：一部分:实验预****报告(包括实验目的、意义,实验基本原理与方法,主要仪器设备及耗材,实验方案与技术路线等)
试验目的
熟练使用SPSS对数据做主成分提取,对数据进行压缩提取,通过SPSS输出的结果对实际中的现象进行合理的解释。
二、实验原理
主成分分析是数学上对数据降维的一种方法。其基本思想是设法将原来众多的具有一定相关性的指标(比如p个指标),重新组合成一组较少个数的互不相关的综合指标来代替原来指标。那么综合指标应该如何去提取,使其既能最大程度的反映原变量所代表的信息,又能保证新指标之间保持相互无关(信息不重叠)。
用表示原变量的第一个线性组合所形成的主成分指标,即,由数学知识可知,每一个主成分所提取的信息量可用其方差来度量,其方差越大,表示包含的信息越多。常常希望第一主成分所含的信息量最大,因此在所有的线性组合中选取的应该是的所有线性组合中方差最大的,故称为第一主成分。如果第一主成分不足以代表原来p个指标的信息,再考虑选取第二个主成分指标,为有效地反映原信息,已有的信息就不需要再出现在中,即与要保持独立、不相关,用数学语言表达就是其协方差,所以是与不相关的的所有线性组合中方差最大的,故称为第二主成分,依此类推构造出的为原变量指标的第一、第二、、第m个主成分。
根据以上分析得知:
(1) 互不相关,即,并有,其中Σ为X的协方差阵;
(2) 是的一切线性组合(系数满足上述要求)中方差最大的,,即是与都不相关的的所有线性组合中方差最大者。
为构造的新变量指标,即原变量指标的第一、第二、、第m个主成分。
由以上分析可见,主成分分析法的主要任务有两点:
(1)确定各主成分关于原变量的表达式,即系数。从数学上可以证明,原变量协方差矩阵的特征根是主成分的方差,所以前m个较大特征根就代表前m个较大的主成分方差值;原变量协方差矩阵前m个较大的特征值(这样选取才能保证主成分的方差依次最大)所对应的特征向量就是相应主成分Fi表达式的系数,为了加以限制,系数启用的是对应的单位化的特征向量,即有= 1。
(2)计算主成分载荷,主成分载荷是反映主成分与原变量之间的相互关联程度:
三、主成分分析法的计算步骤
主成分分析的具体步骤如下:
(1)计算协方差矩阵
计算样品数据的协方差矩阵:,其中
(2)求出Σ的特征值及相应的正交化单位特征向量
Σ的前m个较大的特征值,就是前m个主成分对应的方差,对应的单位特征向量就是主成分的关于原变量的系数,则原变量的第i个主成分为:
主成分的方差(信息)贡献率用来反映信息量的大小,为:
(3)选择主成分
最终要选择几个主成分,即中m的确定是通过方差(信息)累计贡献率G(m)来确定
当累积贡献率大于85%时,就认为能足够反映原来变量的信息了,对应的m就是抽取的前m个主成分。
(4)计算主成分载荷
主成分载荷是反映主成分与原变量之间的相互关联程度,原来变量在诸主成分上的荷载
在SPSS软件中主成分分析后的分析结果中,“成分矩阵”反应的就是主成分载荷矩阵。
(5)计算主成分得分
计算样品在m个主成分上的得分:
,
实际应用时,指标的量纲往往不同,所以在主成分计算之前应先消除量纲的影响。消除数据的量纲有很多方法,常用方法是将原始数据标准化,即做如下数据变换:
其中:,
根据数学公式知道,①任何随机变量对其作标准化变换后,其协方差与其相关系数是一回事,即标准化后的变量协方差矩阵就是其相关系数矩阵。②另一方面,根据协方差的公式可以推得标准化后的协方差就是原变量的相关系数,亦即,标准化后的变量的协方差矩阵就是原变量的相关系数矩阵。也就是说,在标准化前后变量的相关系数矩阵不变化。
根据以上论述,为消除量纲的影响,将变量标准化后再计算其协方差矩阵,就是直接计算原变量的相关系数矩阵,所以主成分分析的实际常用计算步骤是:
计算相关系数矩阵;
求出相关系数矩阵的特征值及相应的正交化单位特征向量;
选择主成分;
计算主成分得分。
总结:原指标相关系数矩阵相应的特征值为主成分方差的贡献,方差的贡献率为,越大,说明相应的主成分反映综合信息的能力越强,可根据的大小来提取主成分。每一个主成分的组合系数(原变量在该主成分上的载荷)就是相应特征值所对应的单位特征向量。
第二部分:实验过程记录(可加页)(包括实验原始数据记录,实验现象记录,实验过程发现的问题等)
实验数据
我们收集到了全国31个省市的8项经济指标,在这些数据的基础上做主成分分析。数据见附表1。
操作步骤
第一步:录入或调入数据(图1)。
图1: 原始数据(未经标准化)
第二步:打开“因子分析”对话框。
沿着主菜单的“分析→降维→因子分析”的路径(图2)打开因子分析选项框(图3)