文档介绍：相似形的综合运用(二)
知识考点:
本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理,这是中考的必考内容,另外,以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。
精典例题:
【例1】如图已知,△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P点在AC上(与点A、C不重合),Q点在BC上。
(1)当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时,求CP的长。
(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长。
(3)试问:在AB上是否存在点M,使得△PQM为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存在,请求出PQ的长。
解:(1)∵,∴21世纪教育网
又∵PQ∥AB,∴△PQC∽△ABC
∴,∴
故
(2)∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等
∴PC+CQ=PA+AB+QB=(△ABC的周长)=6
又∵PQ∥AB,∴,即,解得
(3)①依题意得(如图2)当∠MPQ=900 ,PM=PQ时,由勾股定理的逆定理得∠C=900,∴△ABC的AB边上的高为,设PM=PQ=
∵PQ∥AB,△CPQ∽△CAB,∴,解得,即
当,时,同理可得
②依题意得(如图3)当∠PMQ=900 ,MP=MQ时,由等腰直角三角形的性质得:
M到PQ的距离为PQ,设PQ=,由PQ∥AB可得△CPQ∽△CAB,所以有:
,解得,即
【例2】如图,△ABC≌△,∠C=∠=900,AC=3cm,=5cm,先将△ABC和△完全重合,再将△ABC固定,△沿CB所在的直线向左以每秒1cm的速度平行移动,设移动秒后,△ABC与△的重叠部分的面积为 cm2,则与之间的函数关系式为, 秒后重叠部分的面积为cm2。
答案:(0≤≤4)
变式:操场上有一高高耸立的旗杆,如何测出它的高度,请你说出几种方法来。
探索与创新:
【问题】在△ABC中,D为BC边上的中点,E为AC边上任意一点,BE交AD于点O。某学生在研究这一问题时,发现了如下的事实:
当时,有(如图1)
当时,有(如图2)
当时,有(如图3)
在图4中,当时,参照上述研究结论,请你猜想用表示的一般结论,并给出证明(其中是正整数)。21世纪教育网
分析:特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征, 往往通过类比就可以反映其共性规律。
对照(1)、(2)、(3)很容易猜想得到这样一个结论:
独想:当时,有成立。
证明:过点D作DF∥BE,交AC于点F21世纪教育网
∵D是BC的中点
∴F是EC的中点
由可知
∴
∴
∴
跟踪训练:
一、填空题:
1、梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AC、BD交于点O,过点O的直线分别交AB、CD于E、F,若,FC=4cm,则CD= cm。
2、如图,O是平行四边形ABCD对角线的交点,OE∥AD交CD于E,OF∥AB于F,那么∶= 。
3、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,中位线EF交BD于H,AF交BD于G,CD=4AB,则∶= 。
二、选择题:
矩形ABCD中,AB=3,AD=4,DE垂直对角线AC于E,那么∶=( )
A、4∶3 B、16∶9 C、∶3 D、3∶4
三、解答题:
1、如图,在正方形ABCD中,M是A