文档介绍：§2 标准正交基
§3 同构
§4 正交变换
§1 定义与基本性质
§6 对称矩阵的标准形
§5 子空间
§7 向量到子空间的
距离─最小二乘法
§8 酉空间介绍
第三章欧氏空间
二、线性变换的简单性质
§1 定义与基本性质
二、欧氏空间中向量的长度
一、欧氏空间的定义
三、欧氏空间中向量的夹角
四、n维欧氏空间中内积的矩阵表示
五、欧氏子空间
问题的引入:
性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及.
其具体模型为几何空间、
1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算,
但几何空间的度量
长度:
都可以通过内积反映出来:
夹角:
2、在解析几何中,向量的长度,夹角等度量性质
3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质.
满足性质:
当且仅当时
一、欧氏空间的定义
1. 定义
设V是实数域 R上的线性空间,对V中任意两个向量
、定义一个二元实函数,记作,若
(对称性)
(数乘)
(可加性)
(正定性)
① V为实数域 R上的线性空间;
② V除向量的线性运算外,还有“内积”运算;
欧氏空间 V是特殊的线性空间
则称为和的内积,并称这种定义了内积的
实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
注:
,对于向量
所以为内积.
当时,1)即为几何空间中内积在直角
坐标系下的表达式. 即
这样对于内积就成为一个欧氏空间.
易证满足定义中的性质~ .
1)定义
(1)
2)定义
所以为内积.
从而对于内积也构成一个欧氏空间.
由于对未必有
注意:
所以1),2)是两种不同的内积.
从而对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间.
易证满足定义中的性质~ .
例2. 为闭区间上的所有实连续函数
所成线性空间,对于函数,定义
(2)
则对于(2)作成一个欧氏空间.
证:
且若
则
从而
故
因此, 为内积, 为欧氏空间.
推广:
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间,