文档介绍：则称f1(t) 和f2(t)为正交函数。
2、复变函数:若有n个复变函数fi(t) (i=1,…,n)在区间( t1,t2)上满足:
二、正交函数: 1、实变函数:
若实函数f1(t) 和f2(t)在( t1 ,t2)上满足
3、完备正交函数集:若{f1(t) ,…, fn(t) }在区间( t1,t2)
上为正交函数集,不再存在任意非零函数(t)与fi(t)正交,其中
(i=1,2…n),则{f1(t) ,…, fn(t) }称为完备正交函数集。
1、三角正交函数集
(完备正交函数集通常包含无穷多个函数)
( t0,t0 +T )
2、指数函数集
( t0,t0 +T )
3、抽样函数集
4、Walsh函数集
( -, )
( 0,1 )
定理1. 若{f1(t) ,…, fn(t) ,…}在区间( t1,t2)上为完备正交函数集,则在( t1,t2)上函数f(t)(不是任何函数)可表示为:
(傅立叶系数)
如果
为实函数
实函数证明
误差
误差能量
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使误差能量最小,有
6
6
当
时,
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定理2. 若f(t)可用完备正交函数集{ f1(t) ,…, fn(t),…}表示,则
(Parserval定理)
物理意义:
一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。
信号能量
此时
(用完备正交函数集表示)
在( t0,t0 +T )为完备正交函数集。
1. 三角形式傅立叶级数
直流分量
余弦分量幅度
(基频)
正弦分量幅度
其中系数:
3-2 周期信号频域分析
对于周期信号f(t)=f(t+nT) ,当其满足狄氏条件时,可展成:
f(t)=f(t +nT )(n为整数)
可用在( t0,t0 +T )内完备正交函数集表示。
(系数由傅立叶系数公式求得)
余弦形式
其中:
可见, 周期信号可分解为直流,基波和各次谐波的线性组合。
三角函数形式
意义:1、求响应;
2、各谐波分量的比重(频谱);
例题
求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。
解:
傅里叶级数展开式为:
基波
直流
二次谐波
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