文档介绍：导数与积分
一、定义及其几何意义
定义
几何意义
平均变化率
(0)
注:可正,可负,但不能为0
★割线AB的斜率
其中,B点坐标为 A点坐标为
★瞬时变化率
(的导函数,简称导数)
1、在处导数值
=
2、导函数(导数)
曲线上一点B处的切线
斜率即为该点处的导数值
定积分
(分割近似求和取极限)
将定义在上的函数分为n个小区间,记为小区间长度最大者,在每个小区间内任取一点,作和式,当时,若的极限存在,则称的极限为函数在区间上的定积分,记作
若在上连续,那么定积分表示直线①;②(;③(即x轴);④和曲线所围成的图形面积的代数和。
★1、积分可正可负,可以为0,但面积始终为正
=. 其中,叫做被积函数,为积分下限,b为积分上限
;
2、x轴下方图形围成面积等于积分的相反数;
3、求曲边图形面积,可将图形分为x 轴以上和以下部分分别求积分。
二、运算及性质
(一)导数的运算
1、几种常见函数的导数[函数的导函数仍为同类型函数(个别除外)
(1)(C为常数) ; (2);
(3) ;
(4) ;
★注:借助(3),(4)中两个特例回忆与之对应的一般函数的求导公式
(5) ; (6)
2、导数四则运算法则
(1) ; (2);
(3);
(4)
3、复合函数求导(注:由外到内逐层求导,求彻底)
设函数则
例1:求的导函数;
例2:求的导函数,并求该函数在处的切线方程;
例3:已知函数,求①过点A(1,1),与该函数图像相切的切线方程
②过点B,与该函数图像相切的切线方程
(二)积分的运算
1、基本定理:若,且在上可积,则=
例:计算下列定积分(★①除个别外,大部分函数积分后仍为同类型函数;②注意积分后,马上借助熟悉的求导公式检验;③先用公式代入,再去括号,以避免符号出错。)
(1); (2); (3)
(4); (5) ,
cosx-1, x>0 ,求
(6)
2、利用几何意义求面积(注意上下积分的正负)
性质:①(k为常数);
②+;
③=+.
例1:计算由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积;
例2:计算由曲线所围成图形的面积S;
例3:求由直线与曲线及x轴围成的图形面积S;
例4:求曲线所围成的图形面积。
例5:求积分
(三)导数的物理意义:位移的导数是(瞬时)速度,速度的导数是加速度
例1:质点M按规律作直线运动,若质点M在时的瞬时速度为,求常数的值。
例2:若汽车做变速直线运动,在时刻的速度,那么它在这段时间行驶的路程是多少?
三、导数的应用
(一)利用导数判断函数单调性
设函数在区间内可导,则①在区间内单调递增
②在区间内单调递减
★注:导函数的正负决定原函数增减;导函数绝对值大小决定原函数图像陡缓.
(二)利用导数求函数极值
1、★设函数在区间内可导, 则
在处取