文档介绍：
(1)由数学概念引起的分类讨论:主要是指有的概念本身是分类的,在不同条件下有不同结论,则必须进行分类讨论求解,如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
(2)由性质、定理、公式引起的分类讨论:有的数学定理、公式、性质是分类给出的,在不同条件下结论不一致,如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),由a的正负而导致开口方向不确定,等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.
(3)由某些数学式子变形引起的分类讨论:有的数学式子本身是分类给出的,如ax2+bx+c>0,a=0,a<0,a>0解法是不同的.
(4)由图形引起的分类讨论:有的图形的类型、位置也要分类,如角的终边所在象限,点、线、面的位置关系等.
(5)由实际意义引起的讨论:此类问题在应用题中常见.
(6)由参数变化引起的讨论:所解问题含有参数时,必须对参数的不同取值进行分类讨论;含有参数的数学问题中,参变量的不同取值,使得变形受限导致不同的结果.
(1)每次分类的对象是确定的,标准是同一的;
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论,即认识为什么要分类讨论,又从几方面开始讨论,只有明确了讨论原因,才能准确、、定理、定义,,方程问题中根之间的大小,直线与二次曲线位置关系中的判别式等等,常常是分类讨论划分的依据.
(2)每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.
当问题中出现多个不确定因素时,要以起主导作用的因素进行划分,做到不重不漏,然后对划分的每一类分别求解,.
第一,明确讨论对象,确定对象的范围;
第二,确定分类标准,进行合理分类,做到不重不漏;
第三,逐类讨论,获得阶段性结果;
第四,归纳总结,得出结论.
第一,按主元分类的结果应求并集.
第二,按参数分类的结果要分类给出.
第三,分类讨论是一种重要的解题策略,但这种分类讨论的方法有时比较繁杂,若有可能,应尽量避免分类.
类型一:不等式中的字母讨论
1、解关于的不等式:.
思路点拨:依据式子的特点,此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类,然后对式子分解因式,,先写简单好作的.
解析:
(1)当时,原不等式化为一次不等式:,∴;
(2)当时,原不等式变为:,
①若,则原不等式化为
∵,∴,∴不等式解为或,
②若,则原不等式化为,
(ⅰ)当时,,不等式解为,
(ⅱ)当时,,不等式解为;
(ⅲ)当时,,不等式解为,
综上所述,原不等式的解集为:
当时,解集为;
当时,解集为{x|x>1};
当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为.
总结升华:
1. 对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤:
(1)明确讨论的对象,确定对象的全体,确定分类标准,正确分类,不重不漏;
(2)逐步进行讨论,获得结段性结论;
(3)归纳总结,综合结论.
: :最高次项的系数能否为0,不等式对应的根的大小关系,有没有根(判别式)等.
,从等到不等的顺序进行.
举一反三:
【变式1】解关于的不等式:().
解析:原不等式可分解因式为: ,
(下面按两个根与的大小关系分类)
(1)当,即或时,不等式为或,不等式的解集为:;
(2)当,即时,不等式的解集为:;
(3)当,即或时,不等式的解集为:;
综上所述,原不等式的解集为:
当或时,;
当时,;
当或时,.
【变式2】解关于的不等式:.
解析:
(1)当时,不等式为, 解集为;
(2)当时,需要对方程的根的情况进行讨论:
①
即时,方程有两根
.
则原不等式的解为.
②
即时,方程没有实根,
此时为开口向上的抛物线,故原不等式的解为.
③
即时,方程有两相等实根为,
则原不等式的解为.
(3)当时,恒成立,
即时,方程有两根
.
此时,为开口向下的抛物线,
故原不等式的解集为.
综上所述,原不等式的解集为:
当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为.
类型二:函数中的分类讨论
2、设为实数,记函数的最大值为,
(Ⅰ)设,求的取值范围,并把表示为的函数;