文档介绍：正交矩阵的对角线元素
,英国谢菲尔德大学
1. 下面出现的所有数字均被认为是实数,用N(x1,…,xn)来表示x1,…,,是依据它的行列式的值是+1还是-×n矩阵.
以下引人关注的结论由A. Horn([1] 定理8)创立.
定理1 数字d1,…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素当且仅当(d1,…,dn)位于有偶数个负坐标的形如(±1,…,±1)的点的复包线上.
以上定理说明的对象是从这个结果中获得一个有效的标准,,我们有以下结论:
定理2 数字d1,…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是
(1)
dj≤1 (j=1,…,n)
(2)
k=1ndk≤n-2+2λmin1≤j≤ndj
其中λ被赋值为1或0是根据N(d1,…,dn)是偶数还是奇数.
Horn([1] 定理9)得出定理2是在当d1,…,dn全是非负的情况下,以及当N(
d1,…,dn)是偶数时;此外,在所有情况下,条件1和条件2的必要性包含在他的论据中([1] ).上面给出的证明结合了不同的理论.
我们注意到定理2的2个结果.
推论1 数字d1,…,dn是一个特正交矩阵的对角线元素的充分必要条件是
(1)
dj≤1 (j=1,…,n)
(2)
k=1ndk≤n-2+2(1-λ)min1≤j≤ndj
其中λ被赋值为1或0是根据N(d1,…,dn)是偶数还是奇数
推论2 数字d1,…,dn是特正交矩阵的对角线元素,同时也是非正常正交阵的对角线元素的充分必要条件是
(1)
dj≤1 (j=1,…,n)
(2)
k=1ndk≤n-2
很明显,推论2由定理2和推论1得出,推论1由定理2得出,凭借的事实是d1,…,dn是非正常正交阵的对角线元素当且仅当-d1,…,-dn是特正交矩阵的对角线元素.
我对他提供有用意见表示感谢.
2. 这里我们将需要一些初步的结果
引理1 对任意数字x1,…,xn,我们有
(i)
maxk=1nδkxk=k=1nxk
最大数在所有δ1,⋯,δn中产生,δ1,⋯,δn=±1
N(δ1,⋯,δn)≡N(,…,)
(ii)
maxk=1nδkxk=k=1nxk-2min1≤j≤nxj
(3) 最大数在所有δ1,⋯,δn中产生, δ1,⋯,δn=±1
N(δ1,⋯,δn)≢N(x1,…,xn)
首先,我们
k=1nδkxk≤k=1nxk
同样,根据xk≥0或xk<0把δk赋值为+1或-1
可得
k=1nδkxk=k=1nxk
这证明了(1).下面有
min1≤j≤nxj=xs
如果δ1,…,δn满足(3),对于符合条件δixi≤0的i,我们有
k=1nδkxk≤k=1nxk-2xi≤k=1nxk-2xs
再次,根据xs<0或者是xs≥0把δs赋值为+1或-1,对于那些k≠s的k,根据xk≥0或者是xk<0把δk赋值为+1或-1,那么(3)得到满足,我们有
k=1nδkxk=k=1nxk-2xs
显然,(ii)式得证.
推论2 令P=(x1,…,xn), Pk=(xk