高一数学小义复合函数.doc

文档介绍：小议复合函数
摘要:求复合函数的单调区间,定义域和值域是高中数学的重点也是难点,很多同学遇到复合函数的问题都会无从下手,.
关键词:原函数内层函数外层函数
正文:1 ,复合函数的概念
设函数都是单调函数,,称为外层函数,称为原函数.
2,复合函数单调性理论上的证明
已知在函数中,设函数在区间上是单调递增的,函数在区间(其中区间是函数的值域)上是单调递增的,求证:原函数在区间上是增函数. 证明:任取且,内层函数在区间上是增函数,,(其中)又外层函数在区间上也是增函数,,即,由函数的单调性定义可得原函数在区间上是单调递增函数(证毕).用同样的方法可以证明剩余的三种情况(见下表).
3, 结论
函数
区间
从表中可知,对于原函数,内层函数和外层函数,如果知道其中的任意两个函数的单调性就可以推知第三个函数的单调性,理论依据是"同增,异减".很多同学只知道由内层函数和外层函数推出原函数,.
【案例1】求函数的单调区间和值域
解:令,,在区间上是减函数,而外层函数在上是减函数,依据复合函数单调性的判断规律,原函数的单调增区间是,:,且根据对数的意义,,而函数在区间上是减函数,原函数的值域是.
【点评】求复合函数单调区间的基本程序是:分解原函数内层,,,往往依据外层函数的单调性来求.
【案例2】已知函数在区间上是增函数,求的范围.
解:令,,而外层函数始终是增函数,,由得,即.
【点评】本题是一个典型的已知原函数和外层函数的单调性来判断内层函数单调性的问题,应遵循“知二求一”的判断原则.
【案例3】求函数的单调区间和值域.
解:,令,,在上是增函数,而,即,且内层函数在区间和区间上是增函数,所以原函数在区间上是减函数,:
令,则(当且仅当即时),所以,原函数的值域是.
【点评】这是一个型如二次函数的复合函数,先应换元配方,然后求外层函数的单调区间,对应的计算出内层函数的单调区间,这个过程是颠