文档介绍：无约束条件下单变量函数寻优
一、消去法原理:
逐步缩小搜索区间,直至极值点存在的区间达到允许的误差范围为止。
设要寻求f(X)的极小值点为 X* ,起始搜索区间为[a0,b0]。
x1、x2 [a0,b0],且x2<x1,计算 f(x1)和f(x2),并且比较结果:
f(x)
x
o
a0
b0
X*
x1,x2 在x*的右侧
x1
x2
f(x)
x
o
a0
b0
X*
x1,x2 在x*的左侧
x1
x2
f(x)
x
o
a0
b0
X*
x1,x2 在x*的两侧
x1
x2
① x1,x2 均在x*的右侧,f(x2)<f(x1),去掉[x1,b0],此时x*[a0,x1]
② x1,x2 均在x*的左侧,f(x2)>f(x1),去掉[a0,x2],此时x*[x2,b0]
③ x1,x2 均在x*的两侧,f(x2)=f(x1):
[x1,b0],此时x*[a0,x1]
[a0,x2],此时x*[x2,b0]
1
sfsf
二、黄金分割法():是一种常用的消去法
与对分法、i法比较,具有计算次数少,过程简单的特点。
1、原理:
L
x
L-x
L
x1
x2
2、取点法则:
L
x1
x2
a0
b0
L
① f(x2)≤f(x1),取[a1=a0,b1=x1]
x’1=x2
x’2=b1-(b1-a1)
a1
b1
x’1
x’2
② f(x2)>f(x1),取[a1=x2,b1=b0]
x’1=a1+(b1-a1)
x’2=x1
a1
b1
x’1
x’2
计算n个点后,总缩短率为 En=n-1<, 可得试点数n。
2
sfsf
3、计算步骤:求函数f(x)的极值点
第一步:取初始区间[a0,b0]
x1
x2
a0
b0
⑴若求f(x)的极小值点,则
① f(x2)≤f(x1),取[a1=a0,b1=x1]
x’1=x2
x’2=b1-(b1-a1)
② f(x2)>f(x1),取[a1=x2,b1=b0]
x’1=a1+(b1-a1)
x’2=x1
a1
b1
x’1
x’2
a1
b1
x’1
x’2
⑵若求f(x)的极大值点,则
① f(x2)≥f(x1),取[a1=a0,b1=x1]
x’1=x2
x’2=b1-(b1-a1)
② f(x2)<f(x1),取[a1=x2,b1=b0]
x’1=a1+(b1-a1)
x’2=x1
第二步:求区间的缩短率
3
sfsf
例求解 f(x)=-18x2+72x+28 的极大值点,≤,起始搜索区间为[0,3]
解:①用间接法:令 f’(x)=-36x+72=0,得驻点 x=2
又因为f’’(x)=-36<0,故 x=2 为f(x)的极大值点,fmax=100
②用直接法中的黄金分割法:令n-1=,得n=1+(lg)/(lg)≈
约6步即可,计算结果见下表:
k
ak
bk
f(ak)
f(bk)
pk=
bk- ak
pk/ p0
x1k=ak+
·pk
x2k=bk-
·pk
f (x2k) △f (x1k)
0
0
3
28
82
3
1
<
f(x)
x
o
3
x1
x2
1
3
82
>
2
<
3
<
4
>
5
4
sfsf
2、算法步骤:
设 S=f(X)=f(x1,x2),极值点存在的区间为x1*[a1,b1],x2*[a2,b2]
第一步:从 X(0)=(x1(