文档介绍：数学在物理中的应用
现代数学在物理中的应用越来越广泛,使得物理需要依附数学发展——人们需要更先进的数学手段来解决关于M理论的很多问题;而更早以前,物理中的对称性就需要群论做基础。为了打好基础将来为数学物理界做贡献,从现在起,我就开始努力运用数学眼光,看待并解决周围的物理问题。本文将由浅入深,逐步描述一些我今年独立或通过学****更高难度的数学,解决的小物理问题。
例1.(密度计问题)简易密度计刻度疏密问题。
问题概述:柱体密度计在液体中配重对密度疏密的影响。
思路:F浮=ρ液gV排,不断使用浮力公式,通过比较法得出结论。
解题:设有两种密度不同液体ρ1,ρ2 ,不妨设ρ1<ρ2底面积相同S、足够长的两个密度计分别配重G和G’(G’>G),分别放入液体ρ1 ρ2 中,浸在液体下的高度分别为H,h,H’,h’,由F浮=ρ液gV排得:
G=SHgρ1…………………………①
G=Shgρ2…………………………②
G’=SH’gρ1…………………………③
G’=Sh’gρ2…………………………④
①- ②:SHρ1g=Sh ρ2g,故H=>h
③- ④:SH’ρ1g=Sh’ρ2g,故H’=>h’
③:(H-H’)Sρ1g=G’-G…………………………⑤
④:(h-h’)Sρ2g=G’-G…………………………⑥
做到这里⑤⑥一相减就完了,什么结论也得不出,因为G和G’两个关键的未知量不见了,此处要变形:⑤’:H-H’=(G’-G)÷(Sρ1g)(∵S,ρ1,g均不为零)
⑥’:h-h’=(G’-G)÷(Sρ2 g)
⑤’-⑥’: (H-h)-(H’-h’)=
∵ρ1<ρ2
∴,,
又G’-G>0,Sg>0
∴(H-h)-(H’-h’)=>0,
因此得出结论,简易密度计配重的增加会使得密度计刻度变疏。
推论:用类似的方法,可以得出:简易密度计底面积的减小会使得密度计刻度变疏。
这样一来,抽象的物理问题,用数学方法的严格推导,得出正确的结论,这是很完美的。
例3.(悬链线的性质分析)
问题概述:对于均匀、柔软绳索,两端固定,绳索仅受重力的作用下垂。试分析绳索静止时所成曲线。
思路:以y轴铅直经过绳索最低点I,原点与I的长|OI|为一定值建立xOy坐标系,作受力分析即可。
解题:如思路建立直角坐标系,设绳索形成的曲线为y=y(x),取除了I之外,任意一在曲线上的点A(x,y),对绳索一段弧IA分析。设弧IA长为s,s是x的函数:s=s(x)。设绳索的单位长所受重为ρ,则弧IA重G=ρs。由于绳是柔软的,故点在绳上各处受力沿着绳的切线方向,由于I是最低点,故I处的张力延水平的切线方向,方向为设其大小为F;在点A处所受张力延A点处的切线方向,与水平成角,设A点处张力大小为T。
由条件静止,弧IA所受合外力为0,所以有:
,,两式相除,得。
由知,。
对两边关于x求导,可得,,(这个方程,不怎么好解,但也并非不能解),可以用分离变量法解决:
设,则有,带入方程,得,
∴,
又由初值条件,方程两边作变上限积分,
,即,(现欲解决掉这一项)
分别以方程两边为指数,e为底数,做乘方运算,得,
,
,上下相减,即是我们的终极目标,
,等等,好像在哪里见过这玩意儿!
——————图1摘百度百科
如此一来很巧的就是一在实数域上的双曲正弦函数,这把人们给乐坏了,如此一来,………………(1)
这是要求y的表达式,仅是一步之遥,而为了最后结论的美观性,充分利用双曲正余弦函数之间的关系,并且得出更优美的物理结论,我们认为强行的“令”|IO|=,这样一来,又多了一个初值条件,(),对方程(1)两边作上限积分,得
,
,
人们称之为“悬链线”,这实在是非常有趣的结论。这个例子令我们看到物理和数学间密不可分的关系——很多曲线都满足一些物理上的性质,值得一提的是,各圆锥曲线都具有某一甚至某些光学性质,在此不赘述,有兴趣的可以去搜阅一些资料。
推论:悬链线每一点处受张力为该点的纵坐标y与ρ的积。
在这里给出简要证明:∵,,而由可得,
∴悬链线上每一点M处张力T的大小为
,
∵
∴
故悬链线每一点处受张力为
例3.(阿基米德原理)很久以前对于阿基米德原理证明的理解仅仅停留在“左边有压力,右边有压力,两个压力抵消了;上面向下的压力比下面向上的压力小,故存在浮力。”学****了第二曲面积分后,我们有了充分的数学手段去解决这个看似困难的物理题。
问题概述:证明对任意一个浸没在水中的立体,它所受浮力为。
思路:利用高斯公式计算出立体所受各个方向的水的压力。
图2
(图2为高斯公式)
解题:设有一固体在浸没在液体中,以液体表面为xOy平面,z轴铅直向上。设物体体积为,浸没在密度为