4-3 泰勒级数.ppt

文档介绍：
一、幂级数
二、幂级数收敛域(利用阿贝尔定理)

1、求收敛半径
2、判断端点处收敛性(用常数项级数方法)
3、写出收敛域
三、幂级数的和函数
可逐项求导或逐项求积。
其中为幂级数系数.
6/30/2017
1
第三节幂级数(2)
三函数展开成幂级数
二泰勒级数
一问题的提出
6/30/2017
2
?
?
, 是什么?
上节例题
即得形如函数的展开式.
需要考虑
问题是否存在幂级数在其收敛域内以为和函数?
一问题的提出
6/30/2017
3
二泰勒级数
:
复****前面的两个公式
其中
在与之间
6/30/2017
4

其中
在与之间
6/30/2017
5
函数展开幂级数的必要条件.
定理1 若在处能展开成幂级数
则在内具有任意阶导数,且
证明
在内收敛于,即
6/30/2017
6
令,即得
逐项求导任意次,得
即为泰勒系数
且泰勒系数是唯一的,所以
的展开式是唯一的.
6/30/2017
7
问题
泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)?
不一定.
定义如果f(x)在点处任意阶可导,则幂级数
称为在点的泰勒级数. 称为
在点的麦克劳林级数.
6/30/2017
8
函数展开幂级数的充要条件.
定理2 在点的泰勒级数,在内
收敛于在内
定理3 设在上有定义, 对
恒有
则在内可展开成点的泰勒级数.
6/30/2017
9
三函数展开成幂级数
(泰勒级数法)
步骤:
写出级数:
讨论或
则级数在收敛区间内收敛于
6/30/2017
10