文档介绍：练习题2
09-10 参考解答
一、判断级数的敛散性
∞ 2
1. sin n α
∑ 2
n=1 n
sinn2α 1
解∵≤通过绝对收敛
nn22
证明收敛
∞ 1
和收敛,
∑ 2
n=1 n
所以该级数绝对收敛, 从而收敛.
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∞ nn+1
2. ∑(1)− n−1
n=1 ()n +1!
n+2
u ()nn+11!()+
解: ∵limn+1 = lim
nn→∞→∞()n+1
unnn + 2!
n+1
(n +1) ⎛⎞1
=+lim⎜⎟ 1
n→∞()nn+ 2 ⎝⎠
= e >1 比值法也可判断发散!
所以该级数发散。说明通项不收敛到零
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n2
∞ 11⎛⎞
3. (1)−+n 1
∑ n ⎜⎟
n=1 2 ⎝⎠n
解 11n
n ⎛⎞
∵limun =+ lim⎜⎟ 1
nn→∞→∞ 2 ⎝⎠n
e
= >1
2
此级数不是绝对收敛, 也意味着||un 不收敛到0
所以该级数发散。类似于上题
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∞ 1
4. (1)−>n a 0
∑ n ()
n=1 na
u nan
解∵limn+1 = lim
nn→∞→∞ n+1
unan ()+1
1
=
a
所以当a >1 时,该级数绝对收敛。
当 01<<a 时,该级数发散。(理由? 必要条件)
当 a =1 时,该级数条件收敛。
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二、计算下列重积分.
1+ xy
1. 计算二重积分dxdy ,其中
∫∫ 22
D 1++xy
22
Dxyxyx=+≤≥{}(),1,0
π
1 1 r
解: 2 π
Idxdy1 = 22 = ddrθ= ln 2
∫∫∫∫−π 0 2
D 1++xy 2 1+ r 2
因为D 关于y 轴对称,被积函数关于变量x为奇函数。
xy
Idxy==0
2 ∫∫ 22 对称性
D 1++xy
π
所以 I = ln 2
2
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2. 计算∫∫∫(x22+ y )dxdydz ,其中Ω是圆锥面
Ω
xy222+ = z 与平面 z =1 所围的立体。
z
解:利用柱面坐标来计算,积分区域 z =1
Ω:1,01,02rz≤≤≤≤ r ≤≤θπ
得到
22 O y
∫∫∫(x+ y) dxdydz x
Ω
211ππ
= ddrrrdzθ 2 =
∫∫∫00r 10
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三、计算 xdyy− 2 dx,其中为正向圆周 xy22+ = 2
∫L L
在第一象限中的部分。
解:曲线 L的参数方程为
π
xy==≤≤2cosθθθ, 2sin ,0 y
2
于是 xdy− 2 ydx
∫L
π 22o 2 x
⎡⎤22
=+2 ()2cos2θ() 2sinθθd
∫0 ⎣⎦⎢⎥
ππ
=+2 ()22sin2 θ dθ=+π 2sin2 2 θθd
∫0 ∫0
13π
=+π 2 =π(常用公式?)
22 2
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(极,柱,球坐标下)一个常用定积分公式
ππ
I = 2 sinn xdx = 2 cosn xdx
n ∫0 ∫0
n−1 n−3
3 1 π
n ⋅ n−2 ⋅⋅ 4 ⋅ 2 ⋅ 2 , n 为偶数
=
n−1 n−3 4 2 n 为奇数
n ⋅ n−2 ⋅
⋅ 5 ⋅ 3 ,
π
2 2
3 ππ
sinxx d = nn2
∫0 sinxx d= 2 sin xx d
3 ∫∫00
π
2 31π
cos4 xx d =
∫0 422
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四、计算∫∫ xydydz++ xdzdx x2 dxdy 其中Σ是上半球面
Σ
xyz222+ +≤4, z ≥ 0 的上侧
在平面中投影面的下侧即
解:记Σ1 为曲面Σ OXY
22
xy+ ≤=4,( z 0), Ω为和ΣΣ1 所围成的立体。
利用高斯公式有添加辅助面
∫∫ xydydz++ xdzdx x2 dxdy
Σ
=++−
∫∫xydydz xdzdx x22 dxdy ∫∫ xdxdy
Σ+Σ11 Σ
=+∫∫∫ydxdydz ∫∫ x2 d