文档介绍：函数的奇偶性
二、学****目标
1、通过具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义,学会运用函数图象理解和研究函数的性质,学会运用定义判断函数的奇偶性。
2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力;
3、通过学****进一步体会数形结合的思想,感受从特殊到一般的思维过程;通过函数图象的描绘及奇偶性的揭示,体会数学的对称美,和谐美。
三、知识要点
1、奇偶函数定义:
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
(2)奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
注意:
①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;
②奇偶函数的定义域的特征:关于原点对称。
③由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
④奇函数若在时有定义,则
2、根据奇偶性可将函数分为四类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称.
说明:一般地,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于轴对称,那么这个函数是偶函数。
4、判断函数奇偶性的格式步骤:
首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
确定f(-x)与f(x)的关系;
作出相应结论:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质
在公共定义域内,
(1)两个奇函数的和为奇函数;两个奇函数的积为偶函数.
(2)两个偶函数的和为偶函数;两个偶函数的积为偶函数.
(3)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
(4) 函数f (x)与同奇或同偶.
【典型例题】
一、判断函数的奇偶性
例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误
(1)因忽视定义域的特征致错
1、①;②f (x)=x2+(x+1)0
错解:①,∴ f (x)是奇函数
②∵ f (-x)=(-x)2+(-x+1)0=x2+(x+1)0=f (x)
∴ f (x)是偶函数.
分析:一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.
正解:①定义域(-∞,1)∪(1,+∞)关于原点不对称,f (x)是非奇非偶函数.
②定义域(-∞,-1)∪(-1,+∞),∴ f (x)为非奇非偶函数.
(2)因缺乏变形意识或方法致错.
2、判断的奇偶性.
错解:∵ 5x-1≠0,∴ x≠0.
f (x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵,
∴ f (-x)≠f (x),f (-x)≠-f (x),
∴ f (x)是非奇非偶函数.
分析:因演变过程不到位导致错误,所以要注意进行恒等变形.
正解:,定义域为(-∞,