文档介绍：学习要求与内容提要
目的与要求:掌握留数的概念及计算方法。掌握
用留数定理计算典型实定积分的方
法。
重点:
难点:
留数的计算与留数定理
留数的计算与留数定理
第四章留数定理
1
(一)留数引入
设
为
的一个孤立奇点;
内的洛朗级数:
在
.
的某去心邻域
邻域内包含
的任一条正向简单闭曲线
留数定理
l
l0
0
1
0
1
0
)
(
)
(
)
(
a
z
z
a
z
z
a
z
f
k
k
+
+
-
+
+
-
+
=
-
-
-
-
L
L
L
L
L
+
-
+
+
-
+
k
k
z
z
a
z
z
a
)
(
)
(
0
0
1
2
0
0 (柯西定理)
L
L
L
+
-
+
+
-
+
=
ò
ò
-
-
-
-
l0
l0
k
k
z
z
z
a
z
z
z
a
d
)
(
d
)
(
1
0
1
0
L
L
+
-
+
+
-
+
+
ò
ò
ò
z
z
z
a
z
z
z
a
z
a
k
l0
k
l0
l0
d
)
(
d
)
(
d
0
0
1
0
1
2
-
p
=
ia
的系数
洛朗级数中负幂项
1
0
1
)
(
-
-
-
z
z
a
ò
l
z
z
f
d
)
(
积分
z
z
f
i
a
l
d
)
(
2
1
1
ò
p
=
-
即
前面
3
(二)有限远留数定理
说明:
2. 留数定理将沿封闭曲线l积分转化为求
被积函数在l内各孤立奇点处的留数.
内部处处解析;
上及
在
l
l
z
f
)
(
.
1
在区域 B内除有限个孤
外处处解析, l 是闭区域B包围诸奇
点的一条正向简单闭曲线, 那么
立奇点
函数
4
证
两边同时除以且
.
.
.
由复连通域的柯西定理
.
),
(
Res
1
即可得
å
=
=
n
j
bj
f
5
(1) 如果
为
的可去奇点,
如果为的一阶极点, 那末
规则1
(2) 如果
为
的本性奇点,
(3) 如果
为
的极点, 则有如下计算规则
展开
则需将
成洛朗级数求
1
-
a
6
例1 求
在
的留数.
解
如果为的阶极点,
规则2
那末
7
例2
求
在
的留数.
解
是
的四阶极点.
在
内将
展成洛朗级数:
8
例3 计算积分
l为正向圆周:
解
为一级极点,
为二级极点,
9
规则3
如果
设
及
在
都解析,
那末
为
的一阶极点,
且有
例4 求
在
的留数.
分析
是
的三阶零点
由规则2得
的三阶极点,
是
所以
)
(
0
z
f
z
=
10