文档介绍：第六部分——不等式
知识点总结精华
考试内容:
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数学探索©版权所有:
数学探索©版权所有)理解不等式的性质及其证明.
数学探索©版权所有)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
数学探索©版权所有)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
数学探索©版权所有)掌握简单不等式的解法.
数学探索©版权所有)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 
不等式知识要点
、线性规划、算法
,注意使用条件,另外需要特别注意:
①若,,,不等式两边取倒数,不等号方向要改变.
②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负号,如果正负号未定,要注意分类讨论.
③取倒数:;;如,等价于或
(一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式)的解法,尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式;勿忘数轴标根法,零点分区间法.
,(1)均值不等式:若,则(当且仅当时取等号)使用条件:“一正二定三相等”, 常用的方法为:拆、凑、平方等;
(2),(当且仅当时,取等号);
(3)公式注意变形如:,;若,则(真分数的性质);
:
⑴比较法:作差比较:.注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差来比较大小;⑵综合法:由因导果;⑶分析法::要证…需证…,只需证…; ⑷反证法:正难则反;
⑸放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.
放缩法的方法有:①添加或舍去一些项,如:;.②将分子或分母放大(或缩小)③利用基本不等式,如:.④利用常用结论: ;
(程度大); (程度小);
⑹换元法:减少不等式中变量,以使问题化难为易,化繁为简,常用的换元有三角换元、代数换元.
如:知,可设;,可设;
6.(1)一元二次不等式或分及
情况分别解之,如设,是方程的两实根,且,则其解集如下表:
或
或
R
R
R
如解关于的不等式:。
(2)指数不等式;;
对数不等式(1)当时,;(2)当时,。
二元一次不等式表示某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。不等式所表示的平面区域边界线画成实线。
说明:(1)取一个特殊点,从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。(2)当两个点位于直线=0两侧,(或)
(3)求的最大值,将直线平移正方向服从;
(4)表示直线的右侧;表示直线上方;
(5)二元一次不等式表示的平面区域:
①法一:先把二元一次不等式改写成或的形式,前者表示直线的上方区域,后者表示直线的下方区域;法二:用特殊点判断; ②无等号时用虚线表示不包含直线,有等号时用实线表示包含直线;
③设点,,若与同号,则P,Q在直线的同侧,异号则在直线的异侧。如已知点A(—2,4),B(4,2),且直线与线段AB恒相交,则的取值范围是__________
(6)线性规划问题中的有关概念:
①满足关于的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。
②关于变量的解析式叫目标函数,关于变量一次式的目标函数叫线性目标函数;
③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题;
④满足线性约束条件的解()叫可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域;
⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解;
(7)求解线性规划问题的步骤是什么?
①根据实际问题的约束条件列出不等式;②作出可行域,写出目标函数;
③确定目标函数的最优位置,从而获得最优解。
不等式的基本概念
不等(等)号的定义:
不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
同向不等式与异向不等式.
同解不等式与不等式的同解变形.
(1)(对称性)
(2)(传递性)
(3)(加法单调性)
(4)(同向不等式相加)
(5)(异向不等式相减)
(6)
(7)(乘法单调性)
(8)(同向不等式相乘)
(异向不等式相除)
(倒数关系)
(11)(平方法则)
(12)(开方法则)
(1)
(2)(当仅当a=b时取等号)
(3)如果a,b都是正数,那么(当仅当a=b时取等号)
极值定理:若则:
如果P是定值, 那么当x=y时,S的值最小;
如果S是定值, 那么当x=y时,P的值最大.
利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
(当仅当a=b=c时取等号)
(当仅当a=b时取