文档介绍：基本不等式应用
1.(1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)
2. (1)若,则(2)若,则(当且仅当时取“=”)
(3)若,则(当且仅当时取“=”)
,则(当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”)
,则(当且仅当时取“=”)
注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.
(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.
二、典例讲解
(一)、求最值
技巧一:凑项
例1、已知,求函数的最大值。
技巧二:凑系数
例2、当时,求的最大值。
练****1、设,求函数的最大值。
技巧三: 分离
例3、求的值域。
技巧四:换元
技巧五:注意:在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。例4、求函数的值域。
练****2、求下列函数的最小值,并求取得最小值时,x 的值.
(1) (2) (3)
技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时,要注意取等号的条件的一致性,否则就会出错。。
例5、已知,且,求的最小值。
练****3、若且,求的最小值
4、设若的最小值为
技巧七:构造定值
例6、已知x,y为正实数,且x 2+=1,求x的最大值.
例7、已知a,b为正实数,2b+ab+a=30,求函数y=的最小值.
(二):在实际问题中的应用
例9、经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:。
(1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车站的平均速度应在什么范围内?
练****5、某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元。
(1)设铁栅长为米,一堵砖墙长为米,求函数的解析式;
(2)为使仓库总面积达到最大,正面铁栅应设计为多长?
三、反馈练****br/>,且,则的最小值是
B. C. D.
A. B. C. D.
, ,
,恒成立,则正实数的最小值为
,则的最小值是
B.
,最小值为,则的值是
A. B. C. D.
A. B. C. D.
,,,则
A. B. C. D.
,则的大小关系是.
,则的最大值是
.
,,则的最小值.
,且,则下列不等式①;②;③;④。其中正确的序号是________________.