文档介绍：哈五中高三数学第二轮复****专题讲座(教师版)
直线、平面、简单几何体
第四课时
题型四求空间角
【典例5】(2006年重庆高考)如图,在正四棱柱中,,为上使的点平面交于,交的延长线于,求:
(Ⅰ)异面直线与所成角的大小;
(Ⅱ)二面角的正切值;
分析:本题以棱柱为载体考查了空间线线角、面面角。属于考查角的典型题型。
解析:解法一:
(1),所以,由此可得,再由∽得
在
(2)作于,连接,由三垂线定理知,故为二面角即二面角的平面角
在中,由,得,从而
解法二:
(1),所以,由此可得
从而,于是
在
(2)在知为钝角,作交的延长线于,连接,由三垂线定理知,故为二面角二面角的平面角,在中,由,得,从而
解法三:(1)以为原点,所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
于是,,,
,,
因为和分别是平行平面与平面的交线,所以,设
由,于是
故,设异面直线AD与所成的角的大小为,则,从而.
(2)作为二面角二面角的平面角,设,则,,
由得,由此得
又由共线得,从而,于是
联立(I)和(II)得,,故
由,得
拓展提升:作异面直线所成角的常用方法有:(1)平移法:在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”,作另外一条直线的平行线或利用中位线;(2)补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系。一般来说平移是最常用的,应作为求两异面直线所成角的首选方法;(3)向量法
解与二面角有关问题时要注意:(1)找出二面角的平面角,主要是用三垂线定理或其逆定理(2)求二面角,主要是解三角形或是用射影法。
【变式训练】如图,已知是棱长为的正方体,
C
B
A
G
H
M
D
E
F
B1
A1
D1
C1
点在上,点在上,且.
(1)求证:四点共面;(4分)
(2)若点在上,,点在上,
,垂足为,求证:平面;(4分)
(3)用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小,求.(4分)
本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算,考查空间想象能力、.
解法一:
(1)如图,在上取点,使,连结,,则,.
因为,,所以四边形,都为平行四边形.
从而,.
又因为,所以,故四边形是平行四边形,由此推知,从而.
因此,四点共面.
(2)如图,,又,所以,
.
因为,所以为平行四边形,从而.
又平面,所以平面.
(3)如图,连结.
因为,,所以平面,得.
于是是所求的二面角的平面角,即.
因为,所以
,
.
解法二:
(1)建立如图所示的坐标系,则,,,
所以,故,,共面.
又它们有公共点,所以四点共面.
(2)如图,设,则,
而,由题设得
,得.
因为,,有,
又,,
所以,,从而,.
故平面.
(3)设向量截面,于是,.
而,,得,,解得,,所以.
又平面,所以和的夹角等于或(为锐角).
于是.
故.
第五课时
题型六求空间距离
【典例5】(2004福建卷)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面
SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分别为AB、SB的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.
分析:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力. 若按常规方法解,(1)需作辅助线再构造一平面,可得线面垂直结论,即可证得线先垂直;(2)由三垂线定理作出二面角的平面角,再由直角三角形知识即可求解;(3)由等体积转换VB-CMN=VN-CMB即可求解. 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷.
解析:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,.
解法一:(Ⅰ)取AC中点D,连结SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
过N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
过E作EF⊥CM于F,连结NF,
则NF⊥CM.
∴∠NFE为二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED