文档介绍：数值模拟导论-第三讲
求解线性系统的基本方法
雅克比·怀特
感谢Deepak Ramaswamy, Michal Rewienski,Karen
Veroy and Jacob White
摘要
解的存在和唯一性
高斯消元法
LU分解
对角元和等比级数
逐步逼近法
适应条件
应用范围
·无电源或刚性支承
·对角和严格对角占优矩阵
·n×n方阵
SMA-HPC ©2003 MIT
线性方程
要求加权变量x,使得矩阵M各列的加权和等于右边的b。
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x11MxM+++= 2 2... xMbNN
线性方程疑问解答
·给定 Mx=b
-这个方程是否有解?
-解是否唯一?
·看是否有解?
存在一组变量x1,…..xn,使得:
xM11+++= xM 2 2... xNN M b
由此看出:只有当b在由M各列组成
的向量空间内,解才存在。
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yM11+++= yM 2 2... yNN M b
线性方程疑问解答续
·解是否唯一?
假设存在非零的变量 yy,,…,使得
1
n
yM11+ yM 2 2++... yNN M = b
又如果,则 M(x+y)=b。
由此可见:当且仅当矩阵M的各列向
量线性无关,方程解唯一。
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线性方程疑问解答续
方阵
·给定,其中M为N*N方阵
-如果对任意给定的b,方程均有解,那么对每一
个b所对应的解都是唯一的。
因为对任意的b都有解,那么矩阵M列向量所组成的
向量空间必定是N维向量空间。又因为矩阵M有N
列,所以矩阵M的列向量必定线性无关。
各列向量相互线性不相关的方阵称之为非奇
异阵。
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高斯消元基础重要工具
用高斯消元法解线性方程 Mxb=
·一种“直接”的方法
有限步求准确解(不计
舍入误差)。
·求解增广矩阵的精确解
·计算所消耗的机时。
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高斯消元法基础举例说明
3*3方阵
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高斯消元法基础举例说明
解题思路
用矩阵的第一行消去第二和第三行的x1
x1
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