文档介绍：数值模拟导论-第九讲
多维牛顿法
雅克比·怀特
感谢Deepak Ramaswamy, Jaime Peraire,
MichalRewienski, and Karen Veroy
摘要
z 简单回顾一维牛顿法
——收敛性检验
z 多维牛顿法
——基本算法
——雅可比矩阵的描述
——方程式
z 多维收敛性
——证明局部收敛性
——收敛性的改善
一维问题回顾牛顿法的思想
*
问题: 找x* 出使得 fx( )= 0
利用泰勒展开式:
x 2
∂f ∂ fx() 2
fx()**=+ fx() () x∗−+ x() x − x
∂xx∂ 2
若接近于精确解
∂f
()xx∗−=− fx()
∂x
SMA-HPC ©2003 MIT
一维回顾牛顿算法
xk0 = 初始给定值, = 0
重复{
∂f
()()xxkk+1 −=− fx k
∂x
kk=+1
} 直到?
xxkk++11−<极限值? fx() k < 极限值?
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一维回顾牛顿算法
牛顿算法图
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一维回顾牛顿算法
收敛性检验
需要一个“”∆x 来检测是否产生错误的收敛
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一维回顾牛顿算法
收敛性检验
同样需要一个“”fx( ) 来检测是否产生错误的收敛
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一维回顾牛顿算法
局部收敛
收敛性依赖于给定恰当的初始值
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多维牛顿法实例问题
杆件和节点问题
⎛⎞fF+ = 0
G xLx
Fx()= ⎜⎟
⎜⎟fF+ = 0
⎝⎠yLy
或
x
ε()ll−+ F =0
l 0 L x
lxy=+22 y
ll−+ F =0
ε()0 L y
()ll0 − l
F = EAc =−ε() l0 l
l 0
xxε
fFx ==() ll0 −
ll
yyε
fFy ==() ll0 −
ll
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多维牛顿法实例问题
非线性电阻器问题
节点分析
在节点1处:ii12+ =0
⇒+−=gv()112 gv v (0 )
在节()点2处:ii32−= (0 )
⇒−−=gv312 gv v 0
在两个非线性方程式中有两个未知数
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