文档介绍：行列式
1 =D¢n .
2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.
3 行列式Dn 等于它的任意一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积的和.
推论行列式任意一行(列)的元素与另一行(列)的代数余子式乘积的和为零.
4 行列式某行(列)元素的公因子可提到行列式符号之外.
也即行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数 k ,等于用数 k 乘此行列式.
推论若行列式有两行(列)成比例,则其值为0.
eg. 奇数阶反对称行列式的值必为0.
5 若行列式的某行(列)的元素均为两项之和,则行列式可按此行(列)拆成两个行列式之和.
6 行列式某行(列)的倍数加于另一行(列),行列式的值不变.
(1)范德蒙德(Vandermonde)行列式等于x1, x2, ¼ , xn这n个数的所有可能的差(xi - xj) (1£ j < i £ n )的乘积.
(2)行列式主对角线上方和下方元素完全相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:所有行(列)都加到第一行(列),然后化成三角形行列式
(3)主对角线上方和下方元素分别相同,且主对角线上元素相同的行列式. 解法:可用拆分法.
(4)三对角线型行列式:指主对角线上元素与主对角线上方和下方第一条次对角线上元素不全为0而其余元素全为0的行列式.
三对角线型及其变形行列式通常可用数学归纳法、递推法、化成三角形行列式等方法.
,An的第i 行与Bn的第j列对应元素乘积之和为
(1)用克拉默法则解方程组的两个条件(1)方程个数等于未知量个数;(2)系数行列式不等于零
(2)定理若方程组的系数行列式,那么线性方程组有解,并且解是唯一的
(3)推论若齐次线性方程组的系数行列式,则方程组只有惟一零解
推论的等价叙述: 齐次线性方程组(2)有非零解,则它的系数行列式必等于零。
矩阵
(1)对角矩阵aij =0 ( i ¹ j, i , j = 1, 2, …, n) 可记作A=diag(a11,a22,¼,ann)
(2)数量矩阵对角矩阵A的对角线元素为同一个数,即当a11 = a22 = ¼ = ann = a,则A=diag(a , a ,¼, a )
(3)单位矩阵 A=diag(1,1 ,¼,1 )
(4)三角形矩阵
(5)对称矩阵反对称矩阵
注意(1)只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘.
(2)相乘所得矩阵的行数等于前一矩阵的行数,列数等于后一矩阵的列数.
(3)矩阵乘法不满足交换律、消去律
(4)
: 设A为一个方阵, f(x)为一个多项式f(x) = asxs + as-1xs-1 + …+ a1x + a0
规定f(A) = asAs + as-1As-1 + …+ a1A + a0I
=(aij)m´n ,把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做 A的转置矩阵,记作AT.
矩阵的性质
定义由n 阶方阵 A的元素所构成的行列式,叫做方阵A的行列式,记作| A| 或det A.
性质
这里A,B为n 阶方阵.
(唯一)
(1)伴随矩阵A*是aij的代数余子式Aij替换原有方阵A的元素aij所构成矩阵的转置矩阵
(2)
(3)(1)称|A| ¹0的矩阵A为非奇异矩阵或满秩矩阵; 称|A| =0的矩阵A为奇异矩阵或降秩矩阵.
(2) 定理可叙述为A可逆Û A非奇异.
(4) A A* = A* A = |A| I 此结论对任意方阵 A成立,即 A可逆或不可逆都成立.
(4)逆矩阵的性质
可逆对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵.
(7)分块矩阵
(3) 对A的列的分法与对B的行的分法相同
(8)块对角阵性质(1)
(2)
(3)
左乘同行右乘同列再加负号
(9)初等变换(1) 交换矩阵的任意两行(列); (2) 以非零常数乘矩阵的某一行(列);
(3) 以常数k乘矩阵某一行(列)加到另一行(列);
(10)若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与 @ B.
(11)对矩阵A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵I(i ,j ),I(k (i )),I(k (i ),j );
对矩阵A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等矩阵I(i ,j ),