文档介绍：第六章三角函数
一、基础知识
定义1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义2 角度制,把一周角360等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L,则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与x轴的正半轴重合,在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=,余切函数cotα=,
定理1 同角三角函数的基本关系式,
倒数关系:tanα=,商数关系:tanα=;
乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα;平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα;
(Ⅱ)sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα;
(Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα; (
Ⅳ)sin=cosα, cos=sinα(奇变偶不变,符号看象限)。
定理3 正弦函数的性质,根据图象可得y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间上为增函数,在区间上为减函数,最小正周期为2. 奇偶数. 有界性:当且仅当x=2kx+时,y取最大值1,当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性:直线x=k+均为其对称轴,点(k, 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里k∈Z.
定理4 余弦函数的性质,根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线x=kπ均为其对称轴,点均为其对称中心。有界性:当且仅当x=2kπ时,y取最大值1;当且仅当x=2kπ-π时,y取最小值-1。值域为[-1,1]。这里k∈Z.
定理5 正切函数的性质:由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+,0)均为其对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式:cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,
cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
定理8 倍角公式:sin2