文档介绍：用相似打洞看矩阵易化
背景:在第六章与第七章的学****过程中,我们学****了用多项式与空间像与核的知识解决矩阵易化的方法。在这篇文章中,我们将用纯粹的矩阵相似打洞方法来解决矩阵易化的问题。
关键词:相似打洞、矩阵易化
矩阵易化
在矩阵运算过程中,我们可以明显的感觉到,如果一个矩阵的形式越简单,运算将会变得非常简单。最理想的情况是将矩阵变成对角化,但这往往做不到。这时我们退而求其次,于是便有了以下的过程:任意复方阵à上三角化à准对角化à约旦化(à有理化)。
相似打洞
我们分别从两个方面来看相似打洞的情况吧!
打洞的方式
打洞这一过程是靠可逆的过渡矩阵P来实现的,它有如下的三种方式:
=(1...11...1) P逆=(1...11...1)(换行与列)
= (1...1u...1) P逆=(1...11/u...1)(行列乘以倍数)
=(1...1u1...1) P逆=(1...1-u1...1 )(行列间加减)
2、打洞时会遇到的两种情况
A.(......u*u......) ,这时若“*”为0,则打为0;否则只能打成1。
B.(......u*v......) ,这时可将“*”打为0。
下面将会给出任意复方阵à上三角化à准对角化à约旦化(à有理化)的系列证明。
系列证明
任意复方阵可以化为上三角化。
复数域上的n阶方阵A相似于上三角矩阵B。B的主对角线元b11,……,bnn就是A的全体特征值,并且这些特征值可以按预先指定的任何顺序排列。
其中B= (b11b12.........b1nb22.........b2n.........bnn)
证明:对n做数学归纳。
当n=1时A由一个数a组成,当然是上三角阵,a就是其特征值。
假设复数域上n-1阶的方阵相似于上三角矩阵,其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。
我们证明n阶的方阵相似于上三角矩阵,其特征值可以在主对角线上按预先指定的顺序排列。
设ui时A的任一个特征值,X1是属于特征值ui的特征向量。将X1扩充为C的一组基{X1,X2,…Xn},依次以X1,X2,…Xn为各列组成矩阵P1=(X1,X2,…Xn)。则P可逆。且由AX1=uiX1知
A(X1,X2,…Xn)=(X1,X2,…Xn) (uiA12A22)
即
A P1=P1 (uiA12A22), P1-1A P1= (uiA12A22)
A的特征多项式fA (u)=(u-ui) fA22(u)。因此,A22的全体特征值与ui一起就是A的全体特征值。根据归纳假设,n-1阶复可逆方阵P2使B22= P2-1A22 P2是上三角矩阵,B22的主对角线的全体元就是A22的全体特征值,并且可以按任何预先指定的顺序排列。
(1P2)是n阶可逆方阵,且有
((1P2)-1(uiA12A22) (1P2)=( uiA12 P2P2-1A22 P2)= (uiB12B22)
由于B22是上三角阵,B= (uiB12B22)是上三角阵。取P=P1 (1P2),则
P-1A P= (1P2)-1P1-1 A P1 (1P2)=B
是上三角阵,它的主对角元就是A的全体特征值,并且可以按任意预先指定的顺序排列。
由数学归纳原理,