同济六版高等数学上册第七章课件.ppt

文档介绍：常系数非齐次线性微分方程
第八节
一、
二、
1
二阶常系数线性非齐次微分方程:
根据解的结构定理, 其通解为
非齐次方程特解
齐次方程通解
求特解的方法
根据 f (x) 的特殊形式,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.
①
—待定系数法
2
一、
为实数,
设特解为
代入原方程, 得
为 m 次多项式.
(1) 若不是特征方程的根,
则取
从而得到特解
形式为
Q (x) 为 m 次待定系数多项式
.
)
(
e
*
x
Q
y
m
x
l
=
其中为待定多项式,
3
(2) 若是特征方程的单根,
为m 次多项式,
故特解形式为
(3) 若是特征方程的重根,
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结
对方程①,
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.
即
即
当是特征方程的 k 重根时,
可设
特解
4
例1.
的通解.
解: 本题
特征方程为
其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为
得
代入方程
比较系数, 得
5
比较系数, 得
因此特解为
所求通解为
6
例2
解
特征方程
特征根
对应的齐次方程的通解为
设原方程的特解为
原方程的一个特解为
故原方程的通解为
7
由
解得
所以原方程满足初始条件的特解为
8
例3.
的一个特解.
解: 本题
而特征方程为
不是特征方程的根.
设所求特解为
代入方程:
比较系数, 得
于是所求特解为
9
例4. 求解定解问题
解: 本题
特征方程为
其根为
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
故对应齐次方程通解为
原方程通解为
由初始条件得
10