办公室空间设计及案例分析艺术.ppt

文档介绍：§ 向量的数量积
:
情境1:前面我们学面向量的加法、减法和数乘三种运算,那么向量与向量能否“相乘”呢?
其中力和位移是向量,
是与的夹角,而功 W是数量.
情境2:一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功为多少?
F
s

┓

(4)注意在两向量的夹角定义中,≤≤180
已知非零向量a与b,作=a, =b,则∠AOB叫a与b的夹角. ∠AOB=θ(0≤θ≤π)
(2)当θ=π时,a与b反向;
(3)当θ=π/2时,a与b垂直, 记a⊥b;
a
b
O
b
a
O
说明:
(1)当θ=0时,a与b同向;
如图,等边三角形ABC中,求
(1)AB与AC的夹角;
(2)AB与BC的夹角。
A
B
C
通过平移
变成共起点!
练习
D
(内积)的定义:
探究:两个向量的数量积与向量数乘有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所决定。
已知两个非零向量a与b,它们的夹角是θ,则数量|a||b|cos叫a与b的数量积,记作ab,即有
ab =|a||b|cos,(0≤θ≤π).
(2)两个向量的数量积称为内积,写成ab;符号“· ”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替.
规定0与任一向量的数量积为0。
(3)在实数中,若a0,且ab=0,则b=0;在数量积中,若a0,且ab=0,能不能推出b=0?为什么?
(4)由ab = bc 能否推出a = c ?
(5)在实数中,有(ab)c = a(bc),但是(ab)c  a(bc)
显然,这是因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线。
即:0 · a=0
:
0
两向量均为非零向量
:
a·c+b·c
(1) a ·b= b · a
(3) (a+b) ·c =
(2)
(交换律)
(分配律)
例1 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0; ②0·a=0;
③0- = ; ④|a·b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;
⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)с=a•(b·с);
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
例1 判断正误,并简要说明理由.
①a·0=0; ②0·a=0;
③0- = ; ④|a·b|=|a||b|;
⑤若a≠0,则对任一非零b有a·b≠0;
⑥a·b=0,则a与b中至少有一个为0;
⑦对任意向量a,b,с都有(a·b)· =a•(b·с);
⑧a与b是两个单位向量,则a2=b2.
例2 已知|a|=3,|b|=6,
当①a∥b,②a⊥b,
③a与b的夹角是135°时,分别求a·b.
应用数学:
例3. |a|=2,|b|=5,a与b的夹角为600,求:
(2) (a+2b) ·(a-3b)
(3) (a+b)2
(4) |a+b|
分析:
a·a=|a|2
(简写a2 = |a|2 )
性质
(1)
(2)
探究:下列等式成立吗?
(3)
(×)
( √)
( √)