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文档介绍：第五章向量与矩阵的范数
定义: 设是实数域(或复数域)上的维线性空间,对于中的任意一个向量
按照某一确定法则对应着一个实数,这个实数称为的范数,记为,并且要求范数满足下列运算条件:

(1)非负性:当只有且仅有当

(2) 齐次性: 为任意数。
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(3) 三角不等式:对于中的任意两个向量都有
例: 在维线性空间中,对于任意的向量定义
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证明:
都是上的范数,并且还有
引理(Hoider不等式):设
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则
其中且。
引理(Minkowski不等式):设
则
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其中实数。
几种常用的范数
定义:设向量,对任意的数,称
为向量的范数。
常用的范数:
(1)1-范数
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(2)2-范数
也称为欧氏范数。
(3) -范数
定理:
证明:令,则
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于是有
另一方面
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故
由此可知
定义:设是维线性空间上定义的两种向量范数,如果存在两个与
无关的正数使得
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定理:有限维线性空间上的任意两个向量范数都是等价的。
利用向量范数可以去构造新的范数。
例:设是上的向量范数,且
,则由
所定义的是上的向量范数。
例: 设数域上的维线性空间,
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为其一组基底,那么对于中的任意一个向量可唯一地表示成
又设是上的向量范数,则由
所定义的是上的向量范数。
矩阵范数
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