文档介绍：中子与物质的相互作用及应用(2004年春季)
第八讲(2004年3月2日)
粒子相互作用的直接模拟 I——蒙特卡罗抽样
统计物理和粒子输运中蒙特卡罗方法的基本概念
“时间是1945年。两个具有巨大影响力的事件发生了:在阿拉莫戈多(Alamogordo)成功实现
的第一次核爆和第一台电子计算机的诞生。这两件事情使得苏联和西方之间的关系发生了质变。
同样也在学术研究和应用科学领域造成了很大影响。至少,这些事件导致了原来称作‘统计抽
样’的数学技巧的复兴;而在新条件(可以利用电子计算机)下,并且由于其特性,统计抽样
的新名字‘蒙特卡罗方法’也就没人拒绝了。”—引自“蒙特卡罗方法的开始”,N. Metropolis,
Los Alamos Science, Special Issue 1987, .
统计物理中的蒙特卡罗抽样
蒙特卡罗方法是一个非常通用的计算技巧,可以用于数值积分、实现某种概率分布的抽样
等。在它所有的应用中,都必须利用随机数。所以也可以把蒙特卡罗方法定义为任何使用随机
数的计算方法。此方法的名字于 1947 年 3 月得来,当时 N. Metropolis 的同事 Stanislaw Ulam
有一个叔叔经常从亲戚那儿借钱,因为他“不得不去蒙特卡罗(位于摩纳哥,以赌场闻名)”,
于是 N. Metropolis 建议取了这样一个诙谐的名字。在我们的讨论中,将利用蒙特卡罗方法来
抽样给定温度下系统的原子结构。
蒙卡方法可用于三个统计计算领域。第一个是多维数值积分,第二个是对统计力学和凝聚
态物理中随机游走过程(马尔可夫链)的模拟,第三个是粒子及辐射输运过程。蒙卡方法的本
质,如同在统计物理中所用到的,是我们下面所要描述的 Metropolis 抽样方法。跟踪粒子和辐
射(中子、光子、带电粒子)的输运问题是蒙卡方法的另一个重要的应用领域,在本讲结尾将
对此做一个相当简要的介绍。关于这个问题有大量文献可以参考[1-4]。
概率分布抽样
设 x 是一个随机变量,服从于一个概率分布密度函数。比如说,粒子的速度就是一个随机
变量,服从于麦克斯维尔——玻耳兹曼分布。记 x 的概率分布密度为 p(x),则 p(x)dx 等于随
机变量 x 落在 x 到 x + ∆x 区间内的概率,且 p(x)满足:
∞
∫ p(x)dx = 1 ()
0
记 P(x)为 p(x)对应的累计概率密度分布函数:
x
P(x) = ∫ p(t)dt ()
0
P(x)和 p(x)之间的关系如图 1 所示。既然 p(x)在(0, ∞) 上积分为 1,则 P(x)的取值范围为[0,1]。
要注意到 P(x)在 p(x)的峰值处增加的最快。这幅图可以帮助理解下面()式给出的抽样方
法。
图 1 概率密度函数 p(x)和累计概率密度分布函数 P(x)的图示。随机数ξi 和随机变量 xi 之间的
关系是这儿讨论的抽样方法的基础。
一个特例是 p(x)服从(0,1)上的均匀分布,这时称相应的随机变量为随机数ξ。也就是说,随
机数特指在区间(0,1)上均匀分布的随机变量。随机数的概率密度函数 p(x)在区间(0,1)上是一
个常数,