文档介绍：学案14 导数在研究函数中的应用
导学目标: ,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(多项式函数一般不超过三次).,会用导数求函数的极大值、极小值(多项式函数一般不超过三次)及最大(最小)值.
自主梳理
:
(1)对于函数y=f(x),如果在某区间上f′(x)>0,那么f(x)为该区间上的________;
如果在某区间上f′(x)<0,那么f(x)为该区间上的________.
(2)若在(a,b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0,f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为____函数,若在(a,b)上,f′(x)≤0,⇔f(x)在(a,b)上为____函数.
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,
①如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极大值;
②如果在x0附近的左侧________,右侧________,那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x);
②求方程________的根;
③检查f′(x),那么f(x)在这个根处取得________;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得________.
=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:
(1)求函数y=f(x)在(a,b)上的________;
(2)将函数y=f(x)的各极值与________比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
自我检测
1.(2010·济宁一模)已知函数y=f(x),其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则关于y=f(x)下列说法正确的是________(填序号).
①在(-∞,0)上为减函数;
②在x=0处取极小值;
③在(4,+∞)上为减函数;
④在x=2处取极大值.
2.(2009·广东改编)函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间为______________.
(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增函数,则a的取值范围为______________.
:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则p是q的________条件.
5.(2010·福州模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10,则f(2)=________.
探究点一函数的单调性
例1 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围;
(3)函数f(x)能否为R上的单调函数,若能,求出a的取值范围;若不能,请说明理由.
变式迁移1 (2009·浙江)已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R).
(1)若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
探究点二函数的极值
例2 若函数f(x)=ax3-bx+4,当x=2时,函数f(x)有极值-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=k有三个零点,求实数k的取值范围.
变式迁移2 设x=1与x=2是函数f(x)=aln x+bx2+x的两个极值点.
(1)试确定常数a和b的值;
(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点,并说明理由.
探究点三求闭区间上函数的最值
例3 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0,若x=时,y=f(x)有极值.
(1)求a,b,c的值;
(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
变式迁移3 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式;
(2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值和最小值.
分类讨论求函数的单调区间
例(14分)(2009·辽宁)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a>1.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,有>-1.
【答题模板】
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞).
f′(x)=x-a+==.[3分]
①若