文档介绍：全等三角形中的热点问题
一:条件开放与探索
给出问题的结论,让解题者分析探索使结论成立应具备的条件,而满足结论的条件往往不是惟一的,这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发,逆向追求,多途寻求,这类题常以基础知识为背景加以设计而成,主要考查解题者对基础知识的掌握程度和归纳能力。
例1、(2005年玉溪).如图8,已知AB=AD,∠1=∠2,要使△ABC≌△ADE,还需添加的条件是(只需填一个) 。
A
B
C
D
E
1
2
(图8)
解:∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE
例2、(2005年长沙).如图,AB=AC ,要使,
应添加的条件是____________ (添加一个条件即可)
E
A
B
C
D
解:AD=AE 或∠B=∠C 或∠ADC=∠AEB
例3、(2005年金华)
如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE。
请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明。
你添加的条件是:___________
根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形:______________(只要求写出一对全等三角形,不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母,不必写出证明过程)
提示:(1)∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD ,证明略;(2)△ADC≌△AEC
例4(2005年福州课改卷)
已知:如图7,点C、D在线段AB上,PC=PD。
请你添加一个条件,使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为_______,你得到的一对全等三角形是△
___≌△___。
提示: 所添条件为: ∠A=∠B(或PA=PB或AC=BD或AD=BC或∠APC=∠BPD或∠APD=∠BPC等)
全等三角形为:△PAC≌△PBD(或△APD≌△BPC)
证明:(略)
二:结论开放与探索
给定问题的条件,让解题者根据条件探索相应的结论,并且符合条件的结论往往呈现多样性,或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断,甚至要求解题者探索条件在变化中的结论,这些问题都是结论开放性的问题,它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想,发现规律,得出结论,这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力
例5(2005年安徽). 如图, 已知AB∥DE, AB=DE, AF=DC, 请问图中有哪几对全等三角形? 并任选其中一对给予证明.
解:图中有3对全等三角形,分别:△ABF≌△DEC。
ABC≌△DEF,△BCF≌△EFC。
证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D,
又∵AB=DE, AF=DC,
∴△ABF≌△DEC。
例6(2005年宁波).如图,△ABC中,AB=AC,过点A作GE∥BC,角平分线BD、CF相交于点H,它们的延长线分别交GE于点E、,并对其中一对全等三角形给出证明.
E
A
G
D
F
H
C
B
提示:△AGC≌△AFB。△AGF≌△DFD。△HBF≌△HDC。△AFC≌△ADB。证明略
例7.(2005年常州)
如图,已知为等边三角形,、、
分别在边、、上,且也是等边三角形.
(1)除已知相等的边以外,请你猜想还有哪些相等线段,
并证明你的猜想是正确的;
(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变化相互得到?
写出变化过程.
提示:(1)AE=BF=CD ;AF=BD=CE;证明:(略)
(2)绕E、D、F进行旋转,然后对折。
例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形△ABC和△°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,.
(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图13—1),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;
(2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图13—2),你在(1)中得到的结论还成立吗?简要说明理由.
解:(1)BE=CF.
证明:在△ABE和△ACF中, ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE=CF.
(2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF
,A、B、C、D在同一直线上,AB=CD,DE∥AF,且DE=AF,求证:△AFC≌△,如图,B点与C点重合时