文档介绍：快速傅里叶变换傅里叶变换+频率响应+抽样定理仿真
第6章
周期信号的傅里叶级数及频谱分析
实验目的
? 学会运用MATLAB分析傅里叶级数展开,深入理解傅里叶级数的物理含义? 学会运用MATLAB分析周期信号的频谱特性
实验原理及实例分析
周期信号的傅里叶级数
设周期信号f(t),其周期为T,角频率为ω0=2πf0=可展开围三角形式的傅里叶级数,即
f t =??0+??1cos??0??+??2cos2??0??+?+??1sin??0??
+??2sin2??0??+?
=??0+ ∞?∞(ancosnω0t+bnsinnω0t) (6-1) 其中,各正弦项与余弦项的系数an、bn成为傅里叶系数,更具函数的正交性,得
0
2t0+T
????= f t cosnω0tdt tT0
????=2 t0+Tf t sinnω0tdt Tt0
0+T
??0= f t dt
Tt
2πT
,则该信号
1t
(6-2)
其中,n=1,2……。积分区间(t0,t0+T)通常取为(0,T)或(?,),
22
TT
将上式同频率项合并,可以改写为
f t =A0+ n=1Ancos?(nω0t+φ0)
∞
(6-3)
由此,可以得出傅里叶级数中各系数间的关系为:
a0=A0 22
An= an+bn an=Ancosφn (6-4)
bn=?Bnsinφn φn=?tan?1bn an从物理概念上来说,式6-3中的A0即是信号f t 的直流分量;式中
第二项A1cos(nω0t+φ0)成为信号f t 的基波或基波分量,它的角频率与元周期信号相同;式中第三项A2cos(2ω0t+φ0)成为信号f t 的二次谐波,它的频率是基波频率的二倍,以此类推。一般而言,Ancos(nω0t+φ0)成为信号f t 的n次谐波,n比较法的那些分量统称为高次谐波。
我们还成用到负指数形式的傅里叶级数,设周期信号f t ,其周
2π
期为T,角频率为ω0=2πf0=,该信号负指数形式的傅里叶级数
T
为
∞
A0=a0
f t = Fne?jωt
n=?∞
其中,Fn= f(t)e?jωtdt n=0,±1,±2,……
T
成为复指数形式傅里叶级数系数。利用MATLAB可直观地观察和分析周期洗脑傅里叶级数及其收敛性。
【实例6-1】周期方波信号如图6-1所示,试求出该信号的傅里叶基数,利用MATLAB编程实现各次谐波的叠加,并验证其收敛性。
解:从理论分析可知,已知周期方波信号的傅里叶级数展开式为
f t =
4Aπ
1
T2T?2(sinω0t+3sin3ω0t+5sin5ω0t+7sin7ω0t+9sin9ω0t+?)
1111
取A=1,T=1,可分别求出1、3、5、11、47项傅里叶级数求和的结果,其MATLAB源程序为
>> t=-1::1; >> omega=2*pi; >> y=square(2*pi*t,50); >> plot(t,y),grid on
>> xlabel(‘t’),ylabel(‘周期方波信号’) >> axis([-1 1 - ])