文档介绍：§ 协方差和相关系数
问题对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
这说明对于二维随机变量,除了每个随机变量各自的概率特性以外,.
数
Y 之间的某种关系.
反映了随机变量X ,
定义称
称
为(X,Y)的协方差矩阵.
可以证明协方差矩阵为半正定矩阵.
协方差和相关系数的定义
为X,Y的
若D (X) > 0, D (Y) > 0 ,称
为X,Y 的相关系数,记为
事实上,
若
称 X,Y 不相关.
无量纲
的量
——利用函数的期望或方差计算协方差
若(X,Y)为离散型,
若(X,Y)为连续型,
协方差和相关系数的计算
求 cov (X,Y),XY .
1 0
p q
X
P
1 0
p q
Y
P
例1 已知 X,Y 的联合分布为:
X
Y
pij
1 0
1
0
p 0
0 q
0 < p <1
p + q = 1
解
1 0
p q
X Y
P
例2 设( X ,Y ) ~ N ( 1,12,2,22,), 求XY .
解
若( X,Y ) ~ N (1,12,2,22,),则X,Y相互独立
X,Y 不相关.
例3 设 X,Y 相互独立,且都服从 N (0, 2),U = aX + bY,V= aX - bY,a,b为常数,且都不为零,求UV .
解
由
而
故
继续讨论:a,b 取何值时,U,V 不相关?
此时,U,V 是否独立?