文档介绍：高中新课标数学基础知识整合
第一部分集合
:元素可以是函数定义域中的值?还可以是函数值域中的值?还可以是曲线上的点?…;
:解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决;是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
3.(1)含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为;非空真子集的数为;
(2); 注意:讨论的时候不要遗忘了的情况;
(3)。
第二部分函数与导数
:注意①第一个集合中的元素必须有象;②一对一,或多对一。
:①分析法;②配方法;③判别式法(注意使用条件) ;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式(慎重使用这种方法,因为它可能导致扩大范围); ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);⑧利用函数有界性(、、等);⑨导数法
(1)复合函数定义域求法:①若f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出
(2)复合函数单调性的判定:①首先将原函数分解为基本函数:内函数与外函数;②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。
注意:外函数的定义域是内函数的值域。
:值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
⑵是奇函数;
⑶是偶函数;
⑷奇函数在原点有定义,则;
⑸在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性;
(6)若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性;
⑴单调性的定义:在区间上是增(减)函数当时;
⑵单调性的判定定义法:注意:一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法(见2 (2));④图像法。
注:证明单调性主要用定义法和导数法。
(1)周期性的定义:对定义域内的任意,若有(其中为非零常数),则称函数为周期函数,为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。
(2)三角函数的周期
①;②;③;④;⑤;
⑶函数周期的判定:①定义法(试值) ②图像法③公式法(利用(2)中结论)
⑷与周期有关的结论:①或的周期为;②的图象关于点中心对称周期2;③的图象关于直线轴对称周期为2;
④的图象关于点中心对称,直线轴对称周期4
;
⑴幂函数: ( ;⑵指数函数:;
⑶对数函数:;⑷正弦函数:;
⑸余弦函数: ;(6)正切函数:;⑺一元二次函数:;
⑻其它常用函数:①正比例函数:;②反比例函数:;特别的,函数;
:⑴解析式:①一般式:;②顶点式:,为顶点;③零点式:
。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素:①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。⑶二次函数问题解决方法:①数形结合;②分类讨论。
⑴图象作法:①描点法(注意三角函数的五点作图)②图象变换法③导数法
⑵图象变换:
平移变换:ⅰ,———左“+”右“-”;
ⅱ———上“+”下“-”;
伸缩变换:
ⅰ, (———纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
ⅱ, (———横坐标不变,纵坐标伸长为原来的倍;
对称变换:ⅰ;ⅱ;
ⅲ; ⅳ;
翻转变换:
ⅰ———右不动,右向左翻(在左侧图象去掉);
ⅱ———上不动,下向上翻(||在下面无图象);
(曲线)对称性的证明
(1)证明函数图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明函数与图象的对称性,即证明图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在的图象上,反之亦然;
注:①曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方程为:f(2a-x, y)=0;
③曲线C1:f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);④f(a+x)=f(b-x) (x∈R)y=f(x)图像关于直线x=对称;
特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R)y=f(x)图像关于直线x=a对称;
⑤函数y=f(x-a)与y=f(b-x