文档介绍：1
将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。
算法总体思想
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n)
=
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
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算法总体思想
对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小,则再划分为k个子问题,如此递归的进行下去,直到问题规模足够小,很容易求出其解为止。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
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算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
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算法总体思想
将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解,自底向上逐步求出原来问题的解。
n
T(n)
=
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
n/2
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
T(n/4)
分治法的设计思想是,将一个难以直接解决的大问题,
分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,
分而治之。
凡治众如治寡,分数是也。
----孙子兵法
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递归的概念
直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
下面来看几个实例。
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递归的概念
例1 阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为:
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素,递归函数只有具备了这两个要素,才能在有限次计算后得出结果。
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递归的概念
例2 i数列
无穷数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,i数列。它可以递归地定义为:
边界条件
递归方程
i数可递归地计算如下:
public static int i(int n)
{
if (n <= 1) return 1;
return i(n-1)+i(n-2);
}
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递归的概念
例3 Ackerman函数
当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时,称这个函数是双递归函数。
Ackerman函数A(n,m)定义如下:
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递归的概念
例3 Ackerman函数
前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义:
但本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。
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递归的概念
例3 Ackerman函数
A(n,m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数:
M=0时,A(n,0)=n+2
M=1时,A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2,和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n
M=2时,A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2),和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2,故A(n,2)= 2^n 。
M=3时,类似的可以推出
M=4时,A(n,4)的增长速度非常快,以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。