文档介绍：正比例函数和反比例函数
综合解说
客观世界是不断运动和变化着的,在这些变化着的事物中,存在各种各样的变量。在同一变化过程中,一些变量之间相互依存,一个变量的变化会引起其他变量的相应变化。函数是体现运动变化的基本数学概念,它从数量角度刻画事物变化的过程,表达变量之间确定的依赖关系。
本章引入了函数的概念,重点讨论正比例函数和反比例函数,并借助与图像的直观,得到它们的一些基本性质,进而应用这些概念和性质,解决一些简单的实际问题。
1 正比例函数
【知识结构框图表】
【本节解读】
人们在认识和描述某一事物时,经常会用“量”来具体表达事物的某些特征,量是用“数”来表明大小的。数与度量单位结合在一起,就是数量。经常涉及的量有长度、面积、体积、质量、温度、时间、速度等。
【基础知识与要点拨】
变量和常量
在变化过程中,可以去不同数值的量叫做变量,保持数值不变的量叫做常量。
比如:圆的周长C与直径D的关系为C=D。C、D是变量,是常量。
函数和自变量
在某个变化过程中有两个变量,设为x和y,如果在变量x的允许范围内,变量y随着x的变化而变化,它们之间存在确定的依赖关系,那么变量y叫做变量x的函数,x叫做自变量。“y是x的函数”用记号y=f(x)表示,括号内的字母表示自变量,括号外的字母f表示y随着x的变化而变化的规律。f(a)表示当x=a时的函数值。
定义域和值域
函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。对应于自变量的函数值的取值范围,叫做值域。
正比例
如果两个变量的每一组对应值的比值是一个不等于零的常数,那么就说这两个变量成正比例。用数学式子表示两个变量x、y成正比例,就是或者,其中,k是不为零的常数。
正比例函数
定义域是一切实数的函数(k是不为零的常数)叫做正比例函数。其中常数k叫做比例系数。确定了比例系数,就可以确定一个正比例函数。
函数解析式
表示两个变量之间依赖关系的数学式子叫做函数解析式。
正比例函数的图像和性质
正比例函数(k是不为零的常数)的图像是经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。当时,直线经过第一、三象限,自变量x的值逐渐增大时,y的值也随着逐渐增大;当时,直线经过第二、四象限,自变量x的值逐渐增大时,y的值则随着逐渐减小。
几点注意:
函数的定义域不但要使代数式有意义,而且要符合实际要求。
正比例函数中,k不能为零,但定义域是一切实数,两者不能混淆。
在实际问题中,正比例函数的图像往往是一段线段,一定要根据定义域来确定线段的所在范围。
正比例函数与正比例是有区别的,比如:就不是正比例函数,但是y与成正比例。
2 反比例函数
【知识结构框图表】
【本节解读】
本节主要讨论反比例函数的定义、反比例函数的解析式及定义域、函数的图像和性质以及反比例函数的实际应用。
【基础知识与要点拨】
反比例
如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数,那么这两个变量就成反比例。例如某段路程长100km,汽车速度为每小时v km,汽车行驶的时间为t小时,则v与t就满足:。所以v与t成反比例。
反比例函数
定义域是不等于零的一切实数的函数叫做反比例函数,其中常数k叫做比例系数。
反比例函数的图像和性质
有描点法可知,反比例函数的图像是双曲线,有两支,每支都