文档介绍：应用随机过程
第三章随机分析简介
§ 随机过程的收敛性
随机过程的收敛性是研究随机分析的基础,由于随机过程的不确定性,其收敛性的选择也是多种多样的,本节主要介绍均方收敛,这是因为均方收敛能简化分析、比较实用。今后,本书分析和研究问题一般都使用均方收敛概念。
定义依均方收敛:
考虑随机变量序列,如果存在随机变量x满足
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记为
或(m·s——是英文Mean—Square缩写)
1. 两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理:对随机变量序列构造柯西序列如果满足
则必然存在一个随机变量x,使得。
洛夫准则(又称均方收敛准则):随机变量序列均方收敛于x的充要条件是
(c取常数)
2. 均方收敛的性质
(1)如果随机变量序列依均方收敛于随机变量x,则有
(2)均方收敛是唯一的。如果
则必有x = y
(3)如果,则有
(4)如果,a和b是任意常数,则有
研究随机过程的统计变化规律,在一定条件下,有时我们也可以借助数学分析的工具建立起随机过程的收敛性、连续性、可微性、可积性等概念,进而可对随机过程的变化规律有更清楚的分析了解。这部分内容属于随机分析,这里我们只作简介。当然在此基础上,我们还可建立随机微分方程,自从伊藤1961年建立随机微分方程理论以来,随机微分方程发展很快,已渗透到各领域。
§ 随机过程的连续性
定义:若随机过程X(t)满足= 0,则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续(简称
连续)。
另一方面,由定义知
∴有
对于右边极限式,自相关函数是的函数。
欲使右边极限为零,则需,才能保证随机过程均方连续。
对于左边,若随机过程均方连续,则随机过程的自相关函数,在上也处处连续。
总之,若随机过程处处均方连续,则它的自相关函数所在上也处处连续,反之也成立。
若随机过程X(t)是连续的,则它的数学期望也必定连续,即:
若随机过程X(t)是连续的,则它的数学期望也必定连续,即:
证设是一个随机变量
又∵均方连续
由夹挤定理知
这表明求极限和求数学期望的次序可以交换,这是一个非常有用的结果,以后经常可用到。