文档介绍：柯西不等式及应用
繁华中学魏志峰
柯西不等式:设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数,则有(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…an2)(b12+b22+…bn2)等号当且仅当ai=λbi(λ为常数,i=1,,…n)时取到。
注:二维柯西不等式:
(一)、柯西不等式的证明
柯西不等式有多种证明方法,你能怎么吗?
证法一:判别式法:
令f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2)
∵ f(x)≥0 ∴△≤0 即(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
等号仅当 ai=λbi时取到。
证法二:
(二)、柯西不等式的应用
柯西不等式是一个非常重要的不等式,其结构和谐,应用灵活广泛,灵活巧妙的运用它,可以使一些较为困难的问题迎刃而解,并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件,继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便,而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等,
(1)巧拆常数:
例1:设、、为正数且各不相等。求证:
分析∵、、均为正∴为证结论正确只需证:
而又
(2)重新安排某些项的次序:
例2:、为非负数,+=1,求证:
分析:不等号左边为两个二项式积,,每个两项式可以使柯西
不等式,直接做得不到预想结论,当把节二个小括号的两项前后调换一下位置,就能证明结论了。
(3)改变结构:
例3、若>> 求证:
分析:初见并不能使用柯西不等式,改造结构后便可使用柯西不等式了
∴
∴结论改为
(4)添项:
例4:求证:
分析:左端变形∴只需证此式即可
求最值
利用柯西不等式,可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。
例5 已知a、b、c∈R+且a+b+c=1,求的最大值