文档介绍：第四章空间力系
§4 - 1 回顾
1、力在直角坐标轴上的投影
x
y
z
Xi
Zi
Yi
Fi
Xi
Zi
Yi
Fi
X = Fsinγcosφ
Y = Fsinγsinφ
Z = Fcosγ
β
α
γ
φ
x
y
z
γ
X = Fcosα
Y = Fcosβ
Z = Fcosγ
2、力的分解
3、空间力偶(F, F ’)的力偶矩矢
力偶矩矢的三要素: 大小、方位和转向
n
d
F
F’
B
A
M
n
M
M
为
自
由
矢
M
为
自
由
矢
M
为
自
由
矢
M
为
自
由
矢
O
就是力偶矩的大小。可见,
与矩心无关。
如图力偶( F,F ’)对O点的矩为:
4、汇交力系、力偶系的合成与平衡
合成结果:
R = ΣFi, M = ΣMi
平衡条件
ΣFi = 0 , ΣMi = 0
§4 - 2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 回顾力对点的矩
力F 对点O的矩的矢量MO(F ),
大小为:
| MO(F)| = Fh = 2△OAB
式中△OAB为图中
阴影部分的面积。
MO( F ) = r×F
力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。
n
h
r
F
O
A
B
z
x
y
MO(F)
力对点的矩矢为定位矢量
若以 O 点为原点,令 i、j、k 分别为坐标轴 x、y、z 方向的单位矢量,设力在三坐标轴的投影为 X、Y、Z,则有
r = x i + y j + z k
F = X i + Y j + Z k
= (yZ - zY) i + (zX - xZ) j + (xY - yX) k
2. 力对轴的矩
为了度量力对绕定轴转动的物体作用效果,必须了解力对轴的矩。
以一个门为例:
门上作用一个力 F
假定门绕 z 轴旋转
将力 F 向 z 轴和 xy 面分解成两个分力 Fz 和Fxy,
显然力 Fxy 使门绕 z 轴旋转。
F
Fxy
Fz
z
x
y
O
z
力对轴的矩之定义
力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量,是一个代数量,其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。
F
Fxy
Fz
A
B
h
即 Mz( F ) = M O( Fxy)
= ± Fxy h
= ± 2△OAB
力对轴的矩等于零的情形:
①力与轴相交( h = 0 )
②力与轴平行( Fxy = 0 )
一句话: 只要力与轴在同一平面内,力对轴的矩等于零。
Fxy
Fxy
Fz
Fxy
Fxy
Fz
Fxy
力对轴的矩之解析表达式
设空间中有一个力 F
y
x
y
x
O
z
X
Y
Fxy
X
Y
Z
F
A(x, y, z)
力作用点 A的坐标为 x,y,z ;
力 F 在三坐标轴的投影分别为 X,Y,Z ;
A(x, y, z)
A(x, y, z)
根据合力矩定理,得
Mz( F ) = M O( Fxy)
= MO( X ) + MO ( Y )
= xY - yX
将上式与按同类方法求得的其他两式合并写成:
M x ( F ) = y Z -z Y
M y ( F ) = z X-x Z
M z ( F ) = x Y -y X
X
Y
Z
X
Y
Z