文档介绍：第二讲微积分基本公式
内容提要
1. 变上限的定积分;
-莱布尼兹公式。
教学要求
;
-莱布尼兹公式。
一、变上限的定积分
一般地,若
?
设物体作直线运动,
其速度,
则在
时间间隔
若已知路程函数
的路程也可表示为
在解决这个问题之前,先讨论原函数存在问题.
内所经过的路程为
则在
时间间隔
内经过
记为
称它为变上限定积分所确定的函数, (变上限定积分)
证
定理1
则变上限定积分
由定积分中值定理,
至少存在一点
使得
解
解
练习
解
例3 求极限
解
练习
解
原式
证
二、牛顿—莱布尼兹公式
令
定理2
再令
牛顿:英国数学家
莱布尼兹:
德国数学家
牛顿(1642. 12. 25—1727. 3. 20)生平简介
牛顿是英国数学家、物理学家和天文学家。祖父和父亲都是农民。
牛顿的幼年是不幸的,他是个遗腹子,又是早产儿,生下来只有3
磅重,人们都担心他活不长久,可谁料到,就在这个小的可怜的头
脑里孕育着非凡的才智,他的思想影响了人类数百年。
牛顿一生为近代自然科学奠定了重要的基础,被益为“有史以来最伟大的科学家”。在60 多年的科学生涯中,牛顿共撰写专著12本,其中科学著作6本,年代学2本,宗教著作4本。作为数学家,牛顿从二项式定理到微积分,从代数和数论到古典几何和解析几何,有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论,甚至在概率论等方面,都有创造性的成就和贡献。莱布尼兹曾说:“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中,牛顿的工作超过一半。”
牛顿以国葬礼埋在威斯敏斯特大教堂内,参加吊唁的法国大文豪伏尔泰评论说,英国纪念一位数学家就象其他国家纪念国王一样隆重。牛顿墓碑上的拉丁碑铭的最后一句是:“他是人类的真正骄傲,让我们为之欢呼吧!”
莱布尼兹是德国数学家、哲学家,莱布尼兹出身于书香门第,
父亲是莱比锡大学的道德哲学教授,母亲也出身于教授家庭。父母亲自做孩子的启蒙教师,耳濡目染,使莱布尼兹从小就十分好学,并有很高的天赋。不幸的是,父亲在他六岁时去世,却给他留下了比金钱更宝贵的丰富藏书。从此,知书达理的母亲担负起儿子的幼年教育。1661年,15岁的莱布尼兹入莱比锡大学学法律,1663年5月获学士学位;1664年1月获哲学硕士学位;1667年2月,获法学博士学位。
莱布尼兹是一位百科全书式的杰出学者,他的研究领域及成果
遍及数学、物理学、逻辑学、生物学、地理学、航海学、法学、解剖学、哲学、历史和外交,等等。其中以数学和哲学最为著明。
莱布尼兹一生没有结婚,没有在大学当过教授。但他的工作领
域是广泛的,他的业余活动的范围是庞大的。1716年他无声无息的
死去。直到1793年,汉诺威人才为他建了一座纪念碑;1883年,在莱比锡的一座教堂附近竖起了他的一座立式雕象。
莱布尼兹(1646. 7. 1—1716. 11. 14)生平简介