文档介绍：浅析原函数的存在性问题
目录
浅析原函数的存在性问题 1
中文摘要 1
关键词 1
1 序言 1
2 基本概念 1
原函数定义 1
函数可积 1
变上限函数 2
3 原函数的意义 2
4 原函数存在定理 2
5 原函数存在性依据 3
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6 分段函数的原函数存在性 6
7 函数可积与原函数存在性的关系 7
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8 可积函数的原函数存在性讨论 8
9 举例应用总结 10
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参考文献 11
致谢 12
浅析原函数的存在性问题
摘要在微积分学中,原函数存在是其理论的中心｡原函数存在定理展现着积分学中关于定积分和原函数相关的联系｡而牛顿—菜布尼兹公式将定积分的计算方法转化为求原函数的方法,因而,论述原函数的存在性是必然的选择｡在原函数和定积分概念问题上,虽然它们建立的背景有非常大的不同,但当我们建立了微积分基本定理之后,函数的原函数存在黎曼可积;也可以当做函数可积,结果是原函数存在,教材里,原函数和函数没有可积,原函数存在性和可积性之间,不做讨论,论文数学分析教材为基础,谈谈分段函数对函数的原函数之间的存在性。目的是可以让人搞清楚原函数存在性和可积性的区别｡
关键词微积分原函数黎曼可积存在性和可积性
序言微积分基本定理就是原函数存在定理和牛顿—菜布尼兹公式, 原函数存在的意义,目的是默认连续函数和原函数的共存,也就展示了积分学里定积分和原函牛顿—莱布尼兹公式表示出,当一个连续函数在区间[P,q]上的定积分和任意一个原函数在区间[p,q]上的增量同样,它是微分学和积分学之间的重要桥梁｡因此无论是在理论上还是在应用上都具有十分重要的意义与作用｡
现在的数学分析和高等数学教材中,多数教材先讨论的是不定积分,然后再讨论原函数存在定理,而在定积分计算中,又通过牛顿菜布尼兹公式将定积分转化为被积函数的一个原函数在上下限处函数值的差值,从而给定积分的计算提供了一个简明有效地方法,也在定积分中普遍应用,还有部分教材把牛顿——菜布尼兹定理里对于f(x)的条件从[p,q]上持续降低为f(x)在[p,q]上黎曼可积,一些人会把函数可积性和原函数存在性相关联,简单得出结论"假设函数是可积,那么原函数就必将存在"或"原函数有的相关两数必然可积"的错误结论,于是函数的可积性和原函数的行在性存在何种关联呢?
另一方面,由原函数存在定理可知,连续的函数必然存在原函数,相对的不存在原函数的函数必为不连续的函数,于是什么样的函数不存在原函数,实际上来说就是什么样的不连续函数不存在原函数,也就是说,原函数存在的必要条件是什么?多数高等数学和数学教材对这两个问题都没有进行详细的讨论,因此我们非常有必要对这两个问题做进一步研讨｡
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基本概念
(一)原函数定义
原函数定义对于F(0)同f(0)在区间E 上有定义且如果F'(0)= f(0)0∈E或者,0∈E于是称F(0)于是就是f(0)在区间E上所表示的一个原函数｡
要使得原函数有意义,就要定好原函数的区间｡
(二)函数可积
假如(x)在[m,n]上有定积分的存在,于是乎f(x)在[m,n]上可积｡存在f(x)为[m,n]上的可积函数｡
注:1)“可积”的说法只针对定积分而言,存在
2)闭区间[m,n]改成开区间(m,n)后对定积分的值不存在影响,存在定积分在开区间(m,n)依然存在｡
(三)变上限函数
假设函数f(x )在区间[m,n]上连续,并且x假设为[]上的一点,考究定积分如果积分上限x在区间[m,n]上随意动态变动,于是针对每一个取定的x值,定积分就存在一个对应值,所以它在[m,n]上所定义了一个函数,记积分上限函数
就变上限函数的奇偶性同周期性
假设f(x)连续,是其原函数,于是
(i)如果(x)为奇函数,于是f(x)及f(x)的所有原函数均为偶函数｡
(ii)如果f(x)为偶函数,于是f(x)的所有原函数中只有是奇函数,其余原函数都是一个奇函数加上一个非零常数｡
(iii)如果f(x)是以T为周期的函数,且,于是中具有相同周期｡
二､原函数的意义
定积分的值是在可积的基础上计算出来的,但是在微积分学中有些定积分往往不是很容易计算,而利用newton-leinniz公式,可以寻找被积函数的原函数,从而可以把复杂问题简单化｡
利用定积分和导数的关系用newton-leinniz公式把定积分和原函数联系起来,可以得到原函数｡利用原函数求定积分,生活中也经常出现这些类似的问题｡在我们假设计铁路,公路天空中飞机的航线往往需要微积分定理的知识将定积分