文档介绍：西北大学第三届微课教学比赛
教学设计方案
作品标题
函数曲线的凹凸性
所属学科及专业
理科---数学类
所属课程
高等数学
相关知识点
凹凸性、二阶导数
授课对象
高等院校数学及工科类
各专业学生
授课时长
14分30秒
参考教材
章节位置
《高等数学》第七版上册(同济大学数学系编)
第3章微分中值定理与导数的应用
函数的单调性与曲线的凹凸性
函数单调性的判定法
曲线的凹凸性与拐点
教学目标
知识技能目标:
通过抽象曲线凹凸性的定义,了解凹凸性的背景,建构其认知基础;
通过几何直观体会凹凸性概念的基本思想,从而理解掌握判别凹凸性的几何法,并能用代数法判定凹凸性;
通过定理的证明培养学生知识迁移的能力,以及观察、比较、抽象、概括的能力。
数学方法目标:
通过问题驱动式的启发教学以及凹凸性的对比讲解,探究体会曲线凹凸性的几何判定法和代数判定法中所蕴含的数形结合、形象思维与逻辑思维相结合的数学思想方法。
(3) 情感态度目标:
1. 通过生活实际问题引入曲线凹凸性,让学生认识到数学在实用性方面的力量,感受到数学在哪里,美就在哪里;
2. 通过几何直观抽象概括出凹凸性的概念及其判别法,培养学生勇于探索新知的科学态度,从而激发学生学****数学的兴趣。
教学重点理解掌握凹凸性的四种判别方法:包括两种几何法(考察弦与弧的位置关系、切线与曲线的位置关系)和两种代数法(利用定义、二阶导数的符号)。
教学难点凹凸性概念的抽象过程、利用二阶导数判定凹凸性的几何解释和定理证明。
教学方法
(1) 生活实际问题引入概念,提高学生的求知欲;
(2) 以问题驱动,讲练结合,利用凹凸性的四种判别方法解答同一道例题,巩固知识,并突出对凹凸性概念的引导和分析,渗透数形结合的数学思想;
(3) 以多媒体课件为主,板书为辅,采用连续启发式教学,遵循循序渐进的认知规律,自然地层层推进教学。在教学中将形象思维与逻辑思维相结合,以笑脸类比凹曲线,以哭脸类比凸曲线,并以此启发学生记忆二阶导数判别法的结论。
教学过程(七个步骤)
一、创设情境,兴趣导入
通过高山滑雪视频和黄河、山路的图片这些生动的实例引导学生注意到画面中勾勒出的线条,抽象类似的线条为曲线ABC,并将其放入直角坐标系中分析。显然,曲线AB和BC都是单调递增的,但它们单调递增的弯曲方式有所不同。这说明:仅用单调性来描述曲线的性态是不够的,需要进一步去考察曲线的弯曲方向。
给出凹凸性的粗略定义:曲线AB是向上鼓鼓的,称它是上凸的,简称凸的;曲线BC是向下鼓鼓的,称其是上凹的,简称凹的。
设计意图: 创设贴近生活的问题情境,反映数学的应用价值,结合形象思维与逻辑思维,如利用典型的象形文字“凸”和“凹”形容曲线的弯曲方向,培养学生兴趣,激发学****热情。
二、几何分析,归纳方法
将曲线ABC以B为分割点分成两部分,以笑脸和哭脸刻画凹曲线和凸曲线。
如果曲线上任意两点连线的弦总在所相应弧的上方,那么称曲线是凹的;如果曲线上任意两点连线的弦总在所相应弧的下方,那么称曲线是凸的。
假设曲线在所考虑区间上任一点的切线均存在。如果曲线上任意一点的切