文档介绍：§ 二项式定理(二十九)
一、知识导学
:
上列公式所表示的定理叫做二项式定理.
右边的多项式叫做的二项展开式,它一共有n+1项.
其中各项的系数叫做二项式系数.
式中的叫做二项展开式的通项,用表示,
即=.
:
(1)“等距离”,这一性质可直接由公式得到.
(2),当r<时,,,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项相等,且同时取得最大值.
(3)各二项式系数的和.
的展开式的各个二项式系数的和等于.
二、疑难知识导析
和
的概括和推广,它是以乘法公式为基础,以组合知识为工具,,但定理的内容必须充分理解.
,要从项数、系数、指数、=在解题时应用较多,因而显得尤其重要,但必须注意,它是的二项展开式的第r+1项,而不是第r项.
(1).
这时通项是=.
(2).
这时通项是=.
(3).
即各二项式系数的和为.
三、经典例题导讲
[例1]已知,
求的值.
错解:由二项展开式的系数的性质可知:的展开式的各个二项式系数的和等于,显然,就是展开式中的,因此的值为-1.
错因:上述解答忽略了是项的系数,而不是二项式系数.
正解:由二项展开式的结构特征,是项的系数,,如果=1,则等式右边为,出现所求式子的形式,而就是展开式中的,因此,即
1=1+,所以,=0
评注这是二项式定理的一个典型应用—赋值法,在使用赋值法时,令、b等于多少,应就具体问题而定,有时取“1”,有时取“-1”,或其他值.
[例2]在多项式的展开式中,含项的系数为.
错解:原式==
∴项的系数为0.
错因:忽视了n的范围,上述解法得出的结果是在n不等于6的前提下得到的,而这个条件并没有提供.
正解:原式==
∴当n≠6时,项的系数为0.
当n=6时,项的系数为1
说明:本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性,应注意原式中对照二项式定理缺少这一项.
[例3] 的末尾连续零的个数是( )
解:
上述展开式中,最后一项为1;倒数第二项为1000;倒数第三项为495000,末尾有三个0;倒数第四项为16170000,末尾有四个0;. 故选C.
[例4] 已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
(1)求展开式中所有的的有理项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解:(1)展开式前三项的系数分别为
.
由题设可知:
解得:n=8或n=1(舍去).
当n=8时,=.
据题意,4-必为整数,从而可知必为4的倍数,
而0≤≤8,∴=0,4,8.
故的有理项为:,,.
(2)设第+1项的系数