文档介绍：:某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作N;
正整数集,记作N*或N+;
整数集,记作Z;
有理数集,记作Q;
实数集,记作R
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(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作A B;
(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);
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(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质:1)()=A;2)S=,=S
:
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。交集
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法
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(1)
(2)
(3)
(4);
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)
1、命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题。
2、四种命题及其关系
(1)四种命题
命题
表述形式
原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若,则
逆否命题
若,则
(2)四种命题间的相互关系
(3)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
②两个命题互为逆命题或互为命题,它们的真假性没有关系;
注:否命题是命题的否定吗?答:不是。命题的否命题既否定命题的条件,又否定命题的结论,而命题的否定只否定命题的结论。
3、充分条件与必要条件
(1)“若p,则q”为真命题,记,则p是q的充分条件,q是p的必要条件。
(2)如果既有,又有,记作,则p是q的充要条件,q也是p的充要条件。
1、命题的真假判断
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示:
p
p
真
假
假
真
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示:
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
“p且q”形式复合命题的真假可以用下表表示:
p
q
P∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
注:1°像上面表示命题真假的表叫真值表;
2°由真值表得:“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况为假;“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况为真;
3°真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题构成的复合命题的真假,而不涉及简单命题的具体内容。
2、全称量词和存在量词
(1)全称量词有:所有的,任意一个,任给,用符号“”表示;
存在量词有:存在一个,至少有一个,有些,用符号“”表示
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题;“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:读作:“对任意x属于M,有p(x)成立”。
(3)含有存在量词的命题,叫