文档介绍：柯西不等式
设,…及,…为任意实数,则有不等式
成立,其中当且仅当=…==0或()等号成立。
这就是著名的柯西()不等式。
柯西不等式的证明
利用二次函数证明柯西不等式
构造二次函数
=
且恒成立
即
其中当且仅当即时等号成立。
利用不等式的基本性质证明柯西不等式
根据高中所学****的基本不等式,实数
所以,要证明,只需证
证明:
=
=
=
=
=
故
当且仅当(为常数,)时,上式等号成立。
利用数学归纳法证明
(1)当时,有
=
当且仅当,即(为常数,)时,上式等号成立。
(2)假设当时,命题成立。
(3)当时,有
=
当且仅当,,所有的同号。
即(为常数,)时,等号成立。
由数学归纳法命题成立。
由算术平均数推导得出柯西不等式
如果那么(当且仅当时取“”号)。将算术平均数变形可得:
对且,设,()
由不等式,有
将个不等式相加得
故
则有
当且仅当且所有的同号,即(为常数,)时,上式等号成立。
利用向量的内积证明柯西不等式
设两个向量=,=,内积由=所给出,则有,
由(不等式) 有
即
故
当且仅当即(为常数,)时,上式等号成立。
利用不等式证明柯西不等式
关于函数,(),,,故是上的凸函数,由不等式
(其中,)
即
令,则有
即
故原不等式成立。
利用二次型正定性证明柯西不等式
由完全平方公式:对任意数
()
将个不等式相加得
设二次型
故为半正定,必有二次型矩阵
正定
则,
即
当且仅当时等号成立,故原不等式成立。
柯西不等式的变形
在中学数学中,常常运用的是柯西不等式的变形,这里我们给出四种柯西不等式的变形公式
变形1 ,有,等号成立当且仅当
变形2 ,有,等号成立当且仅当
变形3 ,有,等号成立的充分必要条件是()
变形4 ,有,等号成立的充分必要条件是。
4 柯西不等式的推广
设且,,(,,),
则
即
当且仅当==…=时等号成立。
证明(由数学归纳法证明)
(1) 当时,由柯西不等式知定理成立
(2) 假设当时,不等式成立
即
(3) 则当时,由归纳假设
= = (1)
当且仅当==…=时等号成立== (2)
当且仅当时等号成立
将(1),(2)两式相乘,得
又因为
=
所以
当且仅当时等号成立。因此
所以,当时,不等式也成立
故对任意,不等式都成立。
排序不等式
设有两组数 a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… b_n 满足 a_1 ≤ a_2 ≤……≤ a_n, b_1 ≤ b_2 ≤……≤ b_n ,则有
a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... + a_n b_1
≤ a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} +……+ a_n b_{t_n}
≤ a_1 b_1 + a_2 b_2 + ……+a_n b_n.
式中t_1,t_2,……,t_n是1,2,……,n的任意一个排列, 当且仅当 a_1 = a_2 = ... = a_n 或 b_1 = b_2 = ... = b_n 时等号成立。
排序不等式的证明:
逐步调整法。
当n=2时,不妨设a_1 ≤ a_2, b_1 ≤ b_2,那么
a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2)
= ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 )