文档介绍：第二节:利用不等式求最值
从历年不等式的考查情况分析,不等式在求最值方面的应用尤为重要,主要是与二次函数,三角函数,数列等知识的综合应用,随着新课程的实施,向量,导数,和线性规划也有可能渗透进来。
例1:已知,且,试求的最大值。
解:
当且仅当时取等号。
说明:本题从“和为定值”的角度对进行了变形
例2:求函数的最大值
解:
当且仅当即时
取最大值
说明:本题利用隐含条件,对积的形式进行变形凑出相同系数的与,从而产生定值。
例3:设,求()的最小值。
解:
=
当且仅当时等号成立,
所以的最小值为
说明:本题倒数变形后出现积的形式,变形的目的是使得和为定值。
例4:已知,试求的最大值。
解:
所以
说明:本题中定值的产生是根据几何平均数与平方平均数的关系进行凑配的,等号成立的条件不难验证。
例5:已知,试求的最值。
解:=
=554
即当=
即时等号成立,代入得
,所以时
时
柯西不等式是平方平均值与算数平均值不等式的一般形式,是处理多元变量的一次形式和与二次形式和的最值的常用手段。
例6:已知,试求的最小值。
解:∵
∴
∴,当
说明:由于在柯西不等式的形式中系数可以用凑配的方法变形得到,关键是寻找相关变量的一次与二次形式,本题对的变形,就是以此为出发点的。
例7:已知实数满足,
,求的最值。
解:
解得
∴
说明:本题利用柯西不等式构造出以为未知数的不等式,通过解不等式得最值。
例8已知实数满足.
试求的最大值与最小值.
解:据柯西不等式
当且仅当时取等号
则
即
解得
,当且仅当,即当时,有最小值1.
,当且仅当,即当时,有最大值2.
例9:给定正数和正数,对于满足条件的所有等差数列试求的最大值。(99年全国高中数学联赛题)
解:由已知可得,由柯西不等式得
,当且仅当
,且,时等号成立
由此得,
∴,
例10:已知若干个正整数之和为1976,求其积的最大值。
解:考虑一般情形:对于给定的正整数,将分成个正整数
之和,当变化时,求的最大值。
当最大时应有:
(1),若不然,则有某个,因
,,
故可用2和代替,而使变大,矛盾。
(2)显然。
(3)因为4=2+2=2×2,故=4均可换成两个2的积使值不变
(4),若,则,
且2+2+2=3+3,和不变,变大,矛盾。
综上所述有:
又因1976=658×3+2,故
例11 个互不相同的正偶数和个互不相同的正奇数的总和为,对于所有这样的和,问的最大值为多少?证明你的结论
分析:先根据题设条件求得的一个上界,然后举例说明此上界可以得到,从而得到的最大值
解:设是个互不相同的正偶数,是个互不相同的正奇数,由
已知,得:
且
由得:,因而有
由由柯西不等式,得:
即,由于为整数,所以
另一方面,当时,且
故有的最大值为
例12:设正数满足,
,求的最小值(2005年全国高中数学联赛题)
解:由条件得,,
因为为正数,所以,以为边长,可构成一个锐角三角形ABC。所以,,,问题转化为:在锐角三角形ABC中,求的最小值。
令,,,则,,且
,,
所以
,
同理:,
所以
取等号时当且仅当,此时,
所以
例13:(第三届中国东南地区数学奥林匹克题6)求最小的实数m,使得对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c,都有
.
解法1:当a=b=c时,有.
下证不等式
对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.
因为对于,有
,
故,.
所以,
,
,
把上面三个不等式相加,得
.
所以,m的最小值为27.
解法2:当a=b=c时,有.
下证不等式
对于满足a+b+c=1的任意正实数a,b,c都成立.
因为,所以,同理,
,,
于是,
,
所以
.
所以,m的最小值为27.
解法3:(齐次化)
当a=b=c时,有.
例14 求最大常数,使对所有正实数成立.
解: 取,
.
故.
,恒存在实数使得
,问应满足什么条件?
解一:设(1)
则由条件有(2)
那么,题设意味着直线(1)与圆(2)有公共点,即圆心到直线(1)的距离不超过圆的半径m,即,即.
解二:原方程等价于
(*)
(*)右端是动点到定点的
距离,而A在直线L:上,由点到
直线的距离公式及两点间的距离公式知
,
∴.
上述两种证明虽然令人陶醉,但是这种精心构造的高超技巧和对已知等式的解析几何理解十分难得,充满浓郁的解析几何气息,那么,有无更好更能反映问题本质的好方法呢?即有无纯代数的方法呢?经过思考得到下面的