文档介绍：§ 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
曲面的方程、
研究曲面的两个基本问题
旋转曲面、
旋转曲面的方程
锥面的方程
球面的方程
柱面、柱面的准线和母线
柱面方程的特征
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中,任何曲面都可以看作点的几何轨迹.
与三元方程
F(x,y,z)0
F(x,y,z )0
有下述关系:
(1)曲面S上任一点的坐标都
满足方程F(x,y,z)0;
O
x
y
z
S
在这样的意义下,如果曲面 S
M(x,y,z )
(2)不在曲面S上的点的坐标
都不满足方程F(x,y,z)0,
那么,方程F(x,y,z)0就叫做
曲面S的方程,而曲面S就叫做方
程F(x,y,z)0的图形.
(x,y,z )
O
z
x
y
M0
R
M
例1 建立球心在点M 0(x 0,y 0,z 0)、半径为R的球面的方程.
解设M(x,y,z)是球面上的任一点,
那么
|M 0M|R.
由于
| M 0M|
所以
 R,
或(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2.
这就是建立球心在点M 0(x 0,y 0,z 0)、
半径为R的球面的方程.
特殊地,球心在原点O(0,0,0)、
半径为R的球面的方程为
x 2y 2z 2R 2.
例2 设有点A(1,2,3)和B(2,1,4),求线段AB的垂直平
分面的方程.
解由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几何
轨迹.
设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,
由于
| AM||BM|,
所以
等式两边平方,然后化简得
2x6y2z70.
这就是线段AB的垂直平分面的方程.
O
z
x
y
A
B
M
解通过配方,原方程可以改写成
(x1) 2(y2) 2z 25.
研究这方程所表示的
曲面的形状.
研究曲面的两个基本问题:
(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;
(2)已知坐标x、y和z间的一个方程时,
例3 方程x 2y 2z 22x4y0表示怎样的曲面?
这是一个球面方程,球心在点M 0(1,2,0)、
比较:球心在点M 0(x 0,y 0,z 0)、半径为R的球面的方程
(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2.
,
一般地,设有三元二次方程
A x 2A y 2A z 2D x E yF zG0,
这个方程的特点是缺x y ,y z ,z x 各项,而且平方项系数相同,
只要将方程经过配方就可以化成方程
(xx 0) 2(yy 0) 2(zz 0) 2R 2.
的形式,
它的图形就是一个球面.
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面
叫做旋转曲面,
这条定直线叫做旋转曲面的轴.
设M 1(0,y 1,z 1)为曲线C上的任一点,
设在yOz 坐标面上有一已知曲线C,它的方程为f (y,z)0,
把这曲线绕 z 轴旋转一周,就得到一个以 z 轴为轴的旋转曲面.
它的方程可以求得如下:
这时zz 1保持不变,且点M到 z 轴
的距离为
f (y 1,z 1)0.
当曲线C绕z轴旋转时,
点M 1也绕
z 轴转到另一点M (x,y,z) ,
这就是所求旋转曲面的方程.
O
z
x
y
| y1|
那么有
C
M1(0, y1, z1)
M
便得曲线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程.
同理,曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
所以只要将方程zy cot 中的y 改成
例4 试建立顶点在坐标原点O,旋转轴为z轴,半顶角为的圆
锥面的方程.
解在yO z 坐标面点,直线L的方程为
zy cot ,
因为旋转轴为 z 轴,
就得到所要求的圆锥面的方程
或
其中acot .
z 2a 2(x 2y 2),
O
x
y
z
a