文档介绍：第三章模型与建模法
§ 量纲分析与轮廓模型
一. 量与量纲
1. 量及其度量
10. 模型所涉及的主要是量不是数
20. 量(物理量)可以分为:
基本量:基础的,独立的量
长度、质量、时间、…
导出量:由基本量通过自然规律导出的量
速度、加速度、力、…
30. 量的度量体系—单位制:
基本量及其度量单位
40. 国际单位(SI)制
基本量
名称单位符号
长度 L 米 m
质量 M 千克 kg
时间 T 秒 s
电流强度 I 安培 A
温度Θ开尔文 K
光强 J 坎德拉 cd
物质的量 N 摩尔 mol
导出量
名称单位符号
力牛顿 N(kgms-2)
能量焦耳 J(kgm2s-2)
功率瓦特 W(kgm2s-3)
频率赫兹 Hz(s-1)
压强帕斯卡 Pa(kgm-1s-2)
2. 量纲:
10. 量纲:一个物理量Q一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式
[Q]=Lα M β T γ I δΘε J ζ N η
为该物理量对选定的这组基本量的量纲积或量纲表达式。α, β, γ, δ, ε, ζ, η称为量纲指数。
例. [长度]=L、[质量]=M、[时间]=T、
[体积]=L3、[加速度]=LT-2、[力]=MLT-2。
注
1. 物理量的量纲只依赖于基本量的选择,独立于单位的确定。
2. 对于某个物理量Q,有α=β=γ=δ=ε=ζ=η=0,则称之为无量纲量,记为[Q]=1 。它将不依赖于选定的基本量。
3. 无量纲量不一定是无单位的量。
20. 量纲齐次法则
一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的,或者都是无量纲量。
二. 量纲分析与Buckingham 定理
1. 量纲分析(Dmentional Analysis)
建模描述单摆运动的周期
问题:质量为m的小球系在长度为 l 的线的一端, 铅垂悬挂。
小球稍稍偏离平衡位置后将在重力的作用下做往复的周期运动。
分析小球摆动周期的规律。
假设:
1. 忽略空气阻力;
2. 忽略可能的磨擦力;
3. 平面运动,忽略地球自转;
4. 忽略摆线的质量和变形。
l
m
g
θ
分析建模
10. 列出有关的物理量
运动周期 t,摆线长 l,摆球质量 m,重力加速度 g,振幅θ.
20. 写出量纲
[t]=T,[l]=L,[m]=M,[g]=LT-2,[θ]=1.
30. 写出规律
F(t, l, m, g, θ)= 0.
40. 写出规律中加项π的形式
π=t α1 l α2 m α3 g α4 θα5
50. 计算π的量纲
[π] =Tα1 Lα2 Mα3 (LT-2)α4= Tα1–2 α4 Lα2 +α4 Mα3
60. 应用量纲齐次原理
由[π] = 1,可得关于αi (i =1, 2, …, 5)的方程组
α1 - 2α4 = 0
α2 + α4 = 0
α3 = 0
α5 任意