文档介绍：第2课时余弦定理(2)
(教师用书独具)
●三维目标
(1)学会利用余弦定理解决有关平面几何问题及判断三角形的形状,掌握转化与化归的数学思想;
(2)能熟练地运用余弦定理解斜三角形.
通过对余弦定理的应用,培养学生解三角形的能力及运算的灵活性.
、态度与价值观
培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力:通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.
●重点、难点
重点:利用余弦定理判断三角形的形状以及正、余弦定理的综合应用.
难点:利用余弦定理判断三角形的形状以及正、余弦定理的综合应用.
教学时结合利用正弦定理判断三角形形状的方法,引导学生通过观察、比较、分析,总结如何使用余弦定理判断三角形的形状,、余弦定理的综合应用的教学,应坚持“学生为主、教师为辅”的思想,结合具体例子,逐步探究.
(教师用书独具)
●教学建议
本节课是余弦定理的应用,教学时应启发、引导学生灵活运用余弦定理的各种等价形式,并总结余弦定理适应题型的特点,在解题时要正确选用余弦定理以达到求解求证的目的.
对于三角形形状的判断,教学时可引导学生把余弦定理同正弦定理相对比探寻二者的共性与差异,、余弦定理的综合应用,实际应用教学时应注意三角恒等变换与正、余弦定理的结合.
●教学流程
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(对应学生用书第9页)
课标解读
,能用余弦定理确定三角形的形状,熟练边角互化.(重点)
.(难点)
判断三角形形状
在△ABC中,若b2sin2C+c2sin2B=os B·cos C,试判断△ABC的形状.
【思路探究】一是利用余弦定理将已知式化为边的关系;二是利用正弦定理将已知式化为角的关系.
【自主解答】法一将已知等式变为
b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=os Bcos C.
由余弦定理,可得
b2+c2-b2·()2-c2·()2
=2bc··,
即b2+c2=.
∴b2+c2=a2.∴△ABC为直角三角形.
法二由===2R(R为△ABC外接圆的半径),得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.
则原式可化为
R2sin2Bsin2C=R2sin os Bcos C.
∵sin Bsin C≠0,
∴sin Bsin C=cos Bcos C,即cos(B+C)=0.
∴B+C=90°.
∴A=90°.∴△ABC为直角三角形.
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从而判断三角形的形状.
在△ABC中,若(a-c·cos B)·sin B=(b-c·cos A)·sin A,判断△ABC的形状.
【解】结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为
(a-c·)·b=(b-c·)·a.
整理得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,
∴a2+b2-c2=0或a2=b2,
∴a2+b2=c2或a=b.
故△ABC为直角三角形或等腰三角形.
正余弦定理的综合应用
△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且asin Asin B+bcos2A=a,
(1)求;
(2)若c2=b2+a2,求B.
【思路探究】(1)利用正弦定理化简上式,从而求得的值;
(2)利用余弦定理求B.
【自主解答】(1)将a=2Rsin A,b=2Rsin B代入已知式得:
sin2Asin B+cos2Asin B=sin A.
∴(sin2A+cos2A)sin B=sin A,
∴sin B=sin A,∴b=a,∴=.
(2)∵c2=b2+a2=(2+)a2,∴c=a,
∴cos B===,
∴B=45°.
,既用到了正弦定理,也用到了余弦定理,这也是解三角形综合问题的常规通法.
,要解三角形,必须已知三角形的一边的长,对于两个定理,根据实际情况可以选择性地运用,也可以综合运用,要注意以下关系式的运用:
A+B+C=π
sin(A+B)=sin C
cos(A+B)=-cos C
sin=cos
cos=sin
已知△ABC的外接圆半径为R,且满足2R(sin2A-sin2C)=